Question

Докажите что если в прямоугольном треугольнике катет лежит против угла в 30 градусов то он равен половине гипотенузы

Answer 1

Давайте рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где угол B равен 90 градусов, а угол A равен 30 градусов. Пусть AC - гипотенуза, а BC - катет, лежащий против угла A.

Мы знаем, что сумма углов в треугольнике равна 180 градусов. Таким образом, угол C равен 60 градусов (180 - 90 - 30).

Теперь рассмотрим треугольник BCD, где BD - катет, лежащий против угла C, а CD - катет, лежащий против угла B.

Так как угол C равен 60 градусов, а угол B равен 90 градусов, то угол D равен 30 градусов (180 - 90 - 60).

Теперь мы видим, что у треугольника BCD два угла по 30 градусов, что делает его равнобедренным треугольником.

Таким образом, BD = CD.

Теперь давайте вернемся к треугольнику ABC. Мы видим, что катет BC (лежащий против угла A) и катет BD (лежащий против угла C) оба равны по длине, так как треугольник BCD - равнобедренный.

Таким образом, в прямоугольном треугольнике ABC катет BC равен катету BD.

Также мы знаем, что угол BCD равен 30 градусам, и угол BCA (угол между гипотенузой и катетом BC) также равен 30 градусам (комплементарные углы). Таким образом, треугольник BCA также прямоугольный, и BC - катет, лежащий против угла в 30 градусов.

Таким образом, в прямоугольном треугольнике, если катет лежит против угла в 30 градусов, то он равен половине гипотенузы.