Question

Используя определение лимиты реальной прогрессии укажите действительность: a) lim n->oo (5 - 3/n) = 5 b) lim n->oo (n + 1) / (3n - 1) = 1/3

Answer 1

Lim(5-3/n)=lim5-3·lim(1/n)=5
n->∞          n->∞    n->∞
lim(n+1)/(3n-1)=lim(1+1/n)/(3-1/n)=1/3
n->∞                   n->∞

Answer 2

Концепция лимитов в математике используется для определения поведения функций или последовательностей при стремлении некоторой переменной к определённому значению. Давайте рассмотрим данные выражения:

a) \( \lim_{{n \to \infty}} (5 - \frac{3}{n}) \)

Это представляет собой лимит функции \(5 - \frac{3}{n}\) при стремлении \(n\) к бесконечности.

Для вычисления этого лимита можно заметить, что при \(n \to \infty\) член \(\frac{3}{n}\) стремится к нулю, так как знаменатель становится все больше и больше, а числитель остается постоянным. Таким образом, \(5 - \frac{3}{n}\) при \(n \to \infty\) будет приближаться к \(5 - 0 = 5\). Таким образом:

\[ \lim_{{n \to \infty}} (5 - \frac{3}{n}) = 5 \]

b) \( \lim_{{n \to \infty}} \frac{n + 1}{3n - 1} \)

Это представляет собой лимит функции \(\frac{n + 1}{3n - 1}\) при стремлении \(n\) к бесконечности.

Для вычисления этого лимита можно воспользоваться правилом вычисления лимитов рациональных функций при \(n \to \infty\). Для этого действия применимо правило, которое учитывает степени \(n\) в числителе и знаменателе.

Коэффициенты при наибольших степенях \(n\) в числителе и знаменателе будут определять конечный результат при \(n \to \infty\). Здесь наибольшие степени \(n\) - это \(n\) в числителе и \(3n\) в знаменателе. Рассмотрим:

\[ \lim_{{n \to \infty}} \frac{n + 1}{3n - 1} \]

При \(n \to \infty\), коэффициенты при \(n\) в числителе и знаменателе равны \(1\) и \(3\) соответственно. Таким образом, лимит равен отношению коэффициентов перед \(n\) в числителе и знаменателе, то есть:

\[ \lim_{{n \to \infty}} \frac{n + 1}{3n - 1} = \frac{1}{3} \]

Итак, на основе вышеизложенных вычислений:

a) \( \lim_{{n \to \infty}} (5 - \frac{3}{n}) = 5 \)

b) \( \lim_{{n \to \infty}} \frac{n + 1}{3n - 1} = \frac{1}{3} \)