Question

(1+2sinx)sinx = sin2x + cosx

Answer 1

(1+2sinx)sinx=sin2x+cosx

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы можем использовать тригонометрические тождества и алгебраические преобразования.

Начнем с преобразования правой части уравнения. Используя тригонометрическое тождество sin(2x) = 2sin(x)cos(x), мы можем заменить sin^2(x) + cos(x) на 2sin(x)cos(x). Таким образом, уравнение преобразуется следующим образом:

(1 + 2sin(x))sin(x) = 2sin(x)cos(x) + cos(x)

Теперь мы можем объединить все слагаемые справа от знака равенства:

(1 + 2sin(x))sin(x) = (2sin(x) + 1)cos(x)

После этого мы можем разделить обе части уравнения на cos(x):

(1 + 2sin(x))sin(x) / cos(x) = (2sin(x) + 1)

Для упрощения этого уравнения мы можем использовать тригонометрическое тождество tan(x) = sin(x) / cos(x):

(1 + 2sin(x))tan(x) = (2sin(x) + 1)

Теперь, чтобы найти значения x, мы можем решить это уравнение для tan(x). Но перед этим давайте упростим его еще немного:

tan(x) + 2sin(x)tan(x) = 2sin(x) + 1

т.к. tan(x) = sin(x) / cos(x), то уравнение можно переписать так:

sin(x) / cos(x) + 2sin(x) * (sin(x) / cos(x)) = 2sin(x) + 1

Умножим обе части уравнения на cos(x):

sin(x) + 2sin^2(x) = (2sin(x) + 1)cos(x)

Теперь преобразуем левую часть уравнения, используя тригонометрическое тождество sin^2(x) = 1 - cos^2(x):

sin(x) + 2(1 - cos^2(x))sin(x) = (2sin(x) + 1)cos(x)

Раскроем скобки:

sin(x) + 2sin(x) - 2cos^2(x)sin(x) = 2sin(x)cos(x) + cos(x)

Объединим все слагаемые:

3sin(x) - 2cos^2(x)sin(x) = 2sin(x)cos(x) + cos(x)

Теперь выполняем алгебраические преобразования:

3sin(x) - 2cos^2(x)sin(x) - 2sin(x)cos(x) - cos(x) = 0

Факторизуем левую часть уравнения:

sin(x)(3 - 2cos^2(x) - 2cos(x) - 1) - cos(x)(2sin(x) + 1) = 0

Разделим обе части уравнения на sin(x) и cos(x):

(3 - 2cos^2(x) - 2cos(x) - 1) - (2sin(x) + 1) = 0

Упростим:

-2cos^2(x) - 2cos(x) - 2sin(x) - 1 = 0

Теперь мы получили квадратное уравнение относительно cos(x):

2cos^2(x) + 2cos(x) + 2sin(x) + 1 = 0

Решение этого уравнения представляет собой нахождение корней квадратного уравнения. Чтобы найти эти корни, можно использовать методы решения квадратных уравнений, например, формулу дискриминанта.