Question

В клетки таблицы 3х3 вписаны 9 различных натуральных чисел, сума которых равна 50. Катя нашла сумму чисел в каждом из квадратов 2х2. Какова наименьшая возможная сумма этих четырех сумм?

Answer 1

Обозначим среднее число, как С (Centre), левое от него L (Left), правое от центра R (Right), вверх от центра U (Up) и вниз от центра D (Down). Оставшиеся по углам числа обозначим, как x, y, z и t.

    x    U    y
    
    L    C    R

    z    D    t


Сумма в верхнем левом квадрате 2х2:    x + U + L + C ;

Сумма в верхнем правом квадрате 2х2:    U + y + C + R ;

Сумма в нижнем левом квадрате 2х2:    L + C + z + D ;

Сумма в нижнем правом квадрате 2х2:    C + R + D + t ;


Сумма этих четырёх сумм будет:

 S = ( x + U + L + C ) + ( U + y + C + R ) + ( L + C + z + D ) + ( C + R + D + t ) =

 = x + 2U + 2L + 4C + y + 2R + z + 2D + t =

 = x + y + z + t + 2 ( U + L + R + D ) + 4C ;

Нам нужно добиться минимальности S, тогда в натуральные числа нужно брать минимальные натуральные числа, а значит и число 1. Величина числа C влияет на общую сумму сильней всего, поскольку число С берётся 4 раза, с коэффициентом 4, т.е. как 4С, поэтому в первую очередь минимизировать нужно именно число С. Итак, С = 1 , а 4С=4 .

Оставшиеся величины U, L, R и D влияют на общую сумму с удвоенной силой, поскольку величина ( U + L + R + D ) берётся 2 раза, с коэффициентом 2, т.е. как 2( U + L + R + D ), поэтому в эти величины нужно взять 4 минимальные натуральные числа отличные от единицы, т.е. числа 2, 3, 4 и 5, всё равно в каком именно порядке, т.е. просто:

( U + L + R + D ) = ( 2 + 3 + 4 + 5 ) = 14 ;

 2 ( U + L + R + D ) = 28 ;


Мы знаем, что полная сумма должна быть равна 50, т.е.:

 x + U + y + L + C + R + z + D + t = 50 .

 ( x + y + z + t ) + ( U + L + R + D ) + C = 50 .

Подставим сюда величины,
которым мы уже присвоили определённые значения:

 ( x + y + z + t ) + 14 + 1 = 50 .

 x + y + z + t = 35 .

Мы никак не ограниченны в выборе разных чисел  x, y, z и t , так что вполне можем подобрать какие-то натуральные числа, чтобы это выполнялось, например  ( x + y + z + t ) = ( 7 + 8 + 9 + 11 ) .


Все условия выполнены, числа взяты минимальные, в сумме квадратика 3х3 они дают 50, теперь посчитаем сумму всех сумм 2х2:

 S = x + y + z + t + 2 ( U + L + R + D ) + 4C = 35 + 28 + 4 = 35 + 32 = 67 ;


О т в е т : 67 .

Answer 2

Введение: В данной задаче у нас есть таблица 3x3, в которой вписаны 9 различных натуральных чисел, сумма которых равна 50. Мы должны найти наименьшую возможную сумму чисел в каждом из квадратов 2x2.

Решение:

Для решения этой задачи нам нужно найти наименьшую возможную сумму чисел в каждом из квадратов 2x2.

Давайте посмотрим на таблицу и попробуем найти паттерн или стратегию, которая поможет нам найти наименьшую сумму.

| | | | |---|---|---| | | | | | | | |

Мы знаем, что сумма всех чисел в таблице равна 50. Предположим, что мы выбираем любые 4 числа из таблицы и считаем их сумму. Очевидно, что сумма этих 4 чисел будет одной из сумм квадратов 2x2.

Теперь давайте рассмотрим возможные комбинации чисел, которые мы можем выбрать из таблицы:

1. Выбираем 4 числа из разных строк и столбцов:

В этом случае сумма этих 4 чисел будет одной из сумм квадратов 2x2. Мы можем выбрать 4 числа из разных строк и столбцов, и сумма будет равна сумме квадратов в верхнем левом и нижнем правом углу таблицы, так как каждое число будет включено дважды.

2. Выбираем 4 числа из одной строки или столбца:

В этом случае сумма этих 4 чисел также будет одной из сумм квадратов 2x2. Мы можем выбрать 4 числа из одной строки или столбца, и сумма будет равна сумме квадратов в верхнем левом и нижнем правом углу таблицы.

Теперь давайте посмотрим, какие числа мы можем выбрать из таблицы, чтобы получить наименьшую сумму в каждом из квадратов 2x2.

Нам нужно выбрать числа таким образом, чтобы получить минимальную сумму. Мы можем выбрать наименьшие числа из таблицы, чтобы получить наименьшую возможную сумму в каждом из квадратов 2x2.

Давайте рассмотрим следующую таблицу в качестве примера:

| 1 | 2 | 3 | |---|---|---| | 4 | 5 | 6 | | 7 | 8 | 9 |

Мы можем выбрать числа 1, 2, 4 и 5, чтобы получить наименьшую сумму в квадрате 2x2 в верхнем левом углу. Сумма этих чисел равна 12.

Точно так же, мы можем выбрать числа 2, 3, 5 и 6, чтобы получить наименьшую сумму в квадрате 2x2 в верхнем правом углу. Сумма этих чисел также равна 12.

Таким образом, наименьшая возможная сумма этих четырех сумм равна 12 + 12 = 24.

Ответ: Наименьшая возможная сумма этих четырех сумм равна 24.