Question

Найти полные дифференциалы фунции z=5y^3*x-4x^5*lny^3

Answer 1

$z=5y^3x-4x^5\cdot lny^3\\\\z'_{x}=5y^3-20x^4\cdot lny^3\\\\z'_{y}=15xy^2-4x^5\cdot \frac{3y^2}{y^3}=15xy^2-\frac{12x^5}{y}\\\\dz=(5y^3-20x^4\cdot lny^3)dx+(15xy^2-\frac{12x^5}{y})dy$

Answer 2

Для нахождения полного дифференциала функции z = 5y^3*x - 4x^5*ln(y^3) нужно взять частные производные по каждой из независимых переменных и умножить их на соответствующие дифференциалы переменных. Давайте это сделаем поэтапно.

Частная производная по переменной x:

Для этого мы будем считать y как константу и возьмем производную только по x. Дифференцируем каждый член по отдельности, используя правила дифференцирования.

Для первого члена 5y^3*x: - Частная производная по x даст нам коэффициент, умноженный на производную переменной x, то есть 5y^3. - Частная производная по y даст нам 0, так как мы считаем y константой.

Для второго члена -4x^5*ln(y^3): - Частная производная по x даст нам коэффициент, умноженный на производную переменной x, то есть -4x^5. - Частная производная по y даст нам 0, так как мы считаем y константой.

Частная производная по переменной y:

Теперь мы будем считать x как константу и возьмем производную только по y. Дифференцируем каждый член по отдельности, используя правила дифференцирования.

Для первого члена 5y^3*x: - Частная производная по x даст нам 0, так как мы считаем x константой. - Частная производная по y даст нам коэффициент, умноженный на производную переменной y, то есть 15y^2*x.

Для второго члена -4x^5*ln(y^3): - Частная производная по x даст нам 0, так как мы считаем x константой. - Частная производная по y даст нам коэффициент, умноженный на производную переменной y, то есть -12x^5/y.

Полный дифференциал:

Теперь, чтобы получить полный дифференциал, мы умножаем каждую частную производную на соответствующий дифференциал переменной и суммируем результаты.

Дифференциал функции z: dz = (∂z/∂x) * dx + (∂z/∂y) * dy

Заменяя частные производные и дифференциалы, получаем: dz = (5y^3 * dx) + (15y^2 * x * dy) - (4x^5 * dx * ln(y^3)) - (12x^5 * dy / y)

Вот и полный дифференциал функции z = 5y^3*x - 4x^5*ln(y^3): dz = (5y^3 - 4x^5 * ln(y^3)) * dx + (15y^2 * x - 12x^5 / y) * dy