Question

Найдите наибольшее значение функции y=27x-27tgx+43 на отрезке [0;p\4]

Answer 1

Y=27x-27tgx+43     [0;π/4]
y(0)=0-0+43=43
y(π/4)=27π/4-27+43=6.75π+16

y'=27-27/cos²x   27(1-1/cos²x)=0   cos²x=1
cosx=1   x=0  y=43  
cosx=-1   x=π  вне границ отрезка.
y=6.75π+16 ≈37.2  наименьшее
y=43  наибольшее

Answer 2

Для того, чтобы найти наибольшее значение функции y=27x-27tgx+43 на отрезке [0;π/4], нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции y'=27-27(1/cos^2x)=-27tan^2x+27. 2. Приравнять производную к нулю и решить уравнение относительно x: -27tan^2x+27=0 <=> tan^2x=1 <=> tanx=±1. На отрезке [0;π/4] корнем уравнения является x=π/4. 3. Проверить, является ли найденная точка экстремума максимумом или минимумом, с помощью второй производной или знака первой производной. Вторая производная функции y''=-54tanx(1/cos^2x)=-54sinx/cos^3x. Подставив x=π/4, получим y''(π/4)=-54√2/2. Так как вторая производная отрицательна, то точка x=π/4 является точкой максимума функции. 4. Найти значение функции в точке максимума: y(π/4)=27π/4-27tg(π/4)+43=27π/4-27+43=27(π/4-1)+43≈26,98. 5. Сравнить значение функции в точке максимума с значениями функции на концах отрезка: y(0)=27·0-27tg0+43=43 и y(π/4)=26,98. Заметим, что y(0)>y(π/4), поэтому наибольшее значение функции достигается в точке x=0.

Ответ: наибольшее значение функции y=27x-27tgx+43 на отрезке [0;π/4] равно 43.