Question

Решить пределы lim(2x^2-3x+1)/(3x^2-x-2) x->1

Answer 1

По правилу Лопиталя, исходный предел равен пределу (4х-3)/(6х-1)=1/5

Answer 2

Чтобы решить предел, нам нужно вычислить значение функции при приближении x к заданному значению (в данном случае, x -> 1) и узнать, как это значение соотносится с окружающими значениями функции.

Давайте начнем с вычисления функции при x = 1. Подставим x = 1 в выражение (2x^2 - 3x + 1)/(3x^2 - x - 2):

(2(1)^2 - 3(1) + 1)/(3(1)^2 - 1 - 2) = (2 - 3 + 1)/(3 - 1 - 2) = 0/0

Заметим, что получили неопределенность вида 0/0. Это означает, что простое подстановочное вычисление не дает нам окончательного ответа. В таких случаях мы можем воспользоваться другими методами, такими как правило Лопиталя или разложение в ряд Тейлора.

Применение правила Лопиталя

Правило Лопиталя позволяет нам вычислить пределы функций, которые имеют неопределенность вида 0/0 или бесконечность/бесконечность. Давайте применим это правило к нашему пределу.

Применим правило Лопиталя к выражению (2x^2 - 3x + 1)/(3x^2 - x - 2) при x -> 1. Для этого возьмем производные числителя и знаменателя по x и вычислим предел получившегося выражения:

lim (2x^2 - 3x + 1)/(3x^2 - x - 2) = lim (d/dx (2x^2 - 3x + 1))/(d/dx (3x^2 - x - 2)) x->1

Вычислим производные числителя и знаменателя:

(2x^2 - 3x + 1)' = 4x - 3 (3x^2 - x - 2)' = 6x - 1

Теперь подставим x = 1 в получившиеся производные:

(4(1) - 3)/(6(1) - 1) = (4 - 3)/(6 - 1) = 1/5

Таким образом, предел (2x^2 - 3x + 1)/(3x^2 - x - 2) при x -> 1 равен 1/5.

Итак, ответ: lim (2x^2 - 3x + 1)/(3x^2 - x - 2) при x -> 1 равен 1/5.