Question

В равнобедренном треугольнике ARC проведена биссектриса CM угла C у основания AC, ∡CMR=105°. Определи величины углов данного треугольника (если это необходимо, округли ответ до тысячных).

Answer 1

ΔARC ,  AR=CR  ⇒  ∠A=∠C
CM - биссектриса  ⇒  ∠АСМ=∠CMR=x   ⇒  ∠A=∠C=2x
∠CMR=105° ,  ∠CMR=∠A+∠ACM (внешний угол ΔАМС равен сумме двух других углов, не смежных с ним)
∠А+∠АСМ=∠САМ+∠АСМ=2х+х=3х=105°  ⇒  х=35°
∠А=∠С=2·35°=70°
∠R=180°-(70°+70°)=40°

Answer 2

Для решения задачи воспользуемся свойством биссектрисы треугольника.

По определению биссектрисы, она делит угол на два равных по величине угла. Таким образом, ∠CMR = ∠MCR = 105°/2 = 52.5°.

Так как треугольник ARC является равнобедренным, у него два равных по величине угла. Обозначим эти углы через ∠CRA = ∠ARC = x.

Так как сумма углов треугольника равна 180°, то получаем уравнение: ∠CRA + ∠ARC + ∠CMR = 180°.

Подставим известные значения: x + x + 52.5° = 180°.

Решим уравнение: 2x + 52.5° = 180°.

Вычтем 52.5° из обеих частей уравнения: 2x = 180° - 52.5°.

Выполним вычисления: 2x = 127.5°.

Разделим обе части уравнения на 2: x = 127.5°/2.

Выполним вычисления: x = 63.75°.

Таким образом, углы треугольника ARC равны ∠CRA = ∠ARC = 63.75°, а угол ∠CMR = 52.5°.