Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченную указанными линиями. y=x^3, y=2x-x^2, OX

Answer 1

S= ∫(2x-x^2-x^3)dx=(x^2-x^3/3-x^4/4)=1-1/3-1/4=1/12.
Границы интегрирования от 0 до 1.

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиками функций y=x^3, y=2x-x^2 и осью OX, необходимо найти точки их пересечения и интегрировать разность этих функций в пределах этих точек.

Для начала, найдем точки пересечения графиков функций. Приравняв уравнения, получим:

x^3 = 2x-x^2

Приведем это уравнение к стандартному виду:

x^3 + x^2 - 2x = 0

Факторизуем его:

x(x^2 + x - 2) = 0

x(x + 2)(x - 1) = 0

Отсюда получаем три корня: x = 0, x = -2 и x = 1.

Теперь, чтобы найти площадь фигуры, нужно вычислить интеграл от разности функций y=x^3 и y=2x-x^2 в пределах от x = -2 до x = 1:

S = ∫[from -2 to 1] (x^3 - (2x-x^2)) dx

Вычислим этот интеграл:

S = ∫[from -2 to 1] (x^3 - 2x + x^2) dx

S = [1/4 * x^4 - x^2 + 1/3 * x^3] [from -2 to 1]

Подставим пределы интегрирования:

S = (1/4 * 1^4 - 1^2 + 1/3 * 1^3) - (1/4 * (-2)^4 - (-2)^2 + 1/3 * (-2)^3)

S = (1/4 - 1 + 1/3) - (1/4 * 16 - 4 + 1/3 * (-8))

S = (1/4 - 1 + 1/3) - (4 - 4 - 8/3)

S = (3/12 - 12/12 + 4/12) - (12/12 - 12/12 - 8/3)

S = (-5/12) - (-8/3)

S = -5/12 + 8/3

S = -5/12 + 32/12

S = 27/12

S = 9/4

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=x^3, y=2x-x^2 и осью OX, равна 9/4 или 2.25.