Question

Площадь треугольника ABC=24см.На стороне ABобозначили точки D и F так что, AD=BF=1/4AB, а на стророне BC точки P,M так что CM=BP=1/4BC.Найти площадь четырехугольника DFPM

Answer 1

Раз AD и FB = 1/4AB, то DF = 2/4AB
Аналогично PM = 2/4BC

Можно сказать что BF : FD : AD = 1 : 2 : 1 и BP : PM : CM = 1 : 2 : 1
Так как отношения одинаковы по расширенной теореме Фолеса можно заявить, что:
FP ║ AC
DM ║ AC
А из последних двух строчек сказать, что FP ║ DM.

ΔBFP подобен ΔBDM подобен ΔBAC (по двум углам: ∠В - общий, ∠BFP = ∠BDM = ∠BAC как накрест лежащие при параллельных прямых FP, DM и AC и секущей AB)

Выясним коэффициент подобия. BF = 1/4AB, BD = 3/4AB, AB = 4/4AB
BF : BD : AB = 1/4AB : 3/4AB : 4/4AB = 1 : 3 : 4

Проведём высоту BH. Пусть пересечение BH и FP - точка E. Пересечение BH и DM - точка K.

Из подобия треугольников утверждаем, что
BE : BK : BH = 1 : 3 : 4 и FP : DK : AC = 1 : 3 : 4

FP : DK : AC = 1 : 3 : 4
BE : BK : BH = 1 : 3 : 4
Обозначим FP = x, тогда DK = 3x, AC = 4x
Обозначим BE = y, тогда BK = 3y, BH = 4y

SΔ = 1/2 * сторона * высоту
SΔBFP = 1/2*x*y = xy/2
SΔBDK = 1/2*3x*3y = 9xy/2
SΔBAC = 1/2*4x*4y = 16xy/2
SΔBFP : SΔBDK : SΔBAC = xy/2 : 9xy/2 : 16xy/2 = 1 : 9 : 16

Можно не выводить это отношение, а просто сказать, что отношение площадей - это квадрат коэффициента подобия: 1² : 3² : 4² = 1 : 9 : 16

SΔBFP = t
SΔBDK = k
SΔBAC = 24 см²

Cоставим пропорцию:
1/t = 9/k = 16/24 = 2/3

9/k = 2/3 ⇒ k = 3*9/2 = 27/2 = 13.5 см²
1/t = 2/3 ⇒ t = 3*1/2 = 3/2 = 1.5 см²

SDFPM = SΔDBK - SΔBFP = k - t = 13.5 - 1.5 = 12 см²

Ответ: 12 см²

Answer 2

Для начала рассмотрим данные о треугольнике ABC и постараемся вывести необходимую информацию для нахождения площади четырехугольника DFPM.

Нахождение высоты треугольника ABC

Для начала нам необходимо найти высоту треугольника ABC.

Так как площадь треугольника ABC равна 24 см², мы можем использовать формулу площади треугольника: \[ S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} \]

Выразим высоту треугольника ABC через одну из сторон, например, через сторону AB: \[ S = \frac{1}{2} \times AB \times h \] \[ 24 = \frac{1}{2} \times AB \times h \] \[ h = \frac{48}{AB} \]

Нахождение площади четырехугольника DFPM

Теперь, когда у нас есть выражение для высоты треугольника ABC, мы можем использовать это, чтобы найти площадь четырехугольника DFPM.

Чтобы найти площадь четырехугольника DFPM, мы можем выразить ее как разность площадей треугольников: \[ S_{DFPM} = S_{\triangle ABC} - S_{\triangle ADF} - S_{\triangle BCM} \]

Площади треугольников ADF и BCM

Теперь давайте найдем площади треугольников ADF и BCM.

# Площадь треугольника ADF

Так как AD = 1/4