Question

ПОМОГИТЕ, ОБЪЯСНИТЕ КАК РЕШАЕТСЯ! ∫(dx/(ax^(2)+bx+c) решается с помощью полного квадрата или разложением знаменателя на линейные множители

Answer 1

Решение
∫(dx/(ax²)+bx+c) решается с помощью выделения полного квадрата 
Пример:
∫dx/(x² - 10x + 16) = ∫dx/[(x² - 2*5*x + 25) - 25 + 16] = 
= ∫dx/(x - 5)² - 9] = ∫dx/(x - 5)² - 3²] = ∫d(x - 5) / [(x - 5)² - 3²] =
= 1/(2*3) * ln  I [(x - 5) - 3] / [(x - 5) + 3] I + C =
= 1/6 * ln I (x - 8)/(x - 2) I + C

Answer 2

Для решения интеграла ∫(dx/(ax^2 + bx + c)) с помощью полного квадрата или разложения знаменателя на линейные множители, мы должны сначала проанализировать знаменатель и понять, можно ли его преобразовать для упрощения интеграла.

1. Полное квадратное преобразование: Если знаменатель ax^2 + bx + c может быть преобразован в квадратный трехчлен, то мы можем использовать полное квадратное преобразование для решения интеграла.

Шаги: - Если коэффициент a не равен нулю, мы можем разделить все выражение на a, чтобы получить квадратный трехчлен с коэффициентом 1 перед x^2. - Затем мы можем выразить квадратный трехчлен в виде (x + h)^2, где h - некоторая константа. - После этого мы можем раскрыть квадрат и переписать исходный интеграл в виде ∫(dx/((x + h)^2 + k)), где k - некоторая константа. - Затем мы можем сделать замену переменной, например, u = x + h, чтобы упростить интеграл. - Далее, мы можем проинтегрировать полученное выражение и получить ответ.

2. Разложение на линейные множители: Если знаменатель ax^2 + bx + c может быть разложен на линейные множители, то мы можем использовать разложение для упрощения интеграла.

Шаги: - Мы должны разложить знаменатель на два множителя вида (px + q)(rx + s). - Затем мы можем переписать исходный интеграл в виде ∫(dx/((px + q)(rx + s))). - Мы можем использовать метод частных дробей для разложения дроби на сумму простейших дробей. - После разложения дроби на простейшие дроби, мы можем проинтегрировать каждую дробь отдельно и получить ответ.

В обоих случаях, после упрощения интеграла, мы можем проинтегрировать полученное выражение и получить окончательный ответ.

Answer 3

Интеграл ∫(dx/(ax^(2)+bx+c) можно решить с помощью полного квадрата или разложения знаменателя на линейные множители, в зависимости от формы уравнения.

Если уравнение имеет вид ax^2 + bx + c = 0, то сначала нужно найти корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта. Если дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два различных корня x1 и x2. Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень x1. Если дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет действительных корней.

После нахождения корней уравнения, оно может быть записано в виде: ax^2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2) (если есть два различных корня) или ax^2 + bx + c = a(x - x1)^2 (если есть один корень)

Теперь можно произвести разложение знаменателя на линейные множители: 1/(ax^(2) + bx + c) = A/(x - x1)(x - x2) (если есть два различных корня) или 1/(ax^(2) + bx + c) = A/(x - x1)^2 (если есть один корень)

После разложения знаменателя на линейные множители, интеграл ∫(dx/(ax^(2)+bx+c)) может быть записан в виде: ∫(dx/(ax^(2)+bx+c)) = ∫(A/(x - x1)(x - x2))dx (если есть два различных корня) или ∫(dx/(ax^(2)+bx+c)) = ∫(A/(x - x1)^2)dx (если есть один корень)

Теперь можно произвести интегрирование по каждому слагаемому. Результат будет зависеть от конкретной задачи и значения постоянной A.