Question

Сума корней некого квадратного уравнения равна 1,а сумма их квадратов 2.Чему равна сумма их кубов?

Answer 1

На помог надеюсь

x+y=1

x^2+y^2=2

Из первого уравнения определим x

x=1-y

Подставим во второе уравнение

(1-y)^2+y^2=2

1-2y+y^2+y^2=2

2y^2-2y-1=0

Решая это квадратное уравнение, получаем корни:

y1=(1-sqrt(3)/2

y2=1+sqrt(3)/2

Значит

x1=1-y=1-(1-sqrt(3)/2)=(2-1+sqrt(3))/2=(1+sqrt(3))/2

x2=1-y=1-(1+sqrt(3)/2=2-1+sqrt(3))/2=(1-sqrt(3))/2

То есть Один корень:

(1+sqrt(3))/2,

а второй

(1-sqrt(3))/2

(x^3+y^3)=(x+y)(x^2-xy+y^2)=1*(2-xy)=2-(1-sqrt(3)/2)(1+sqrt(3)/2))=2+0,5=2,5

Answer 2

Пусть корни квадратного уравнения равны a и b. Тогда по условию задачи имеем:

a + b = 1 (1) a^2 + b^2 = 2 (2)

Мы хотим найти сумму их кубов, то есть выразить (a^3 + b^3) через a и b. Для этого воспользуемся формулой разности кубов:

a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)

Подставим значения из уравнений (1) и (2):

a^3 + b^3 = (1)(2 - ab)

Теперь нам нужно найти значение ab. Для этого возведем уравнение (1) в квадрат:

(a + b)^2 = 1^2 a^2 + 2ab + b^2 = 1

Заметим, что a^2 + b^2 равно 2 по уравнению (2). Тогда:

2 + 2ab = 1 2ab = -1 ab = -1/2

Теперь подставим это значение в выражение для a^3 + b^3:

a^3 + b^3 = 2 - (-1/2) a^3 + b^3 = 2 + 1/2 a^3 + b^3 = 5/2

Таким образом, сумма кубов корней квадратного уравнения равна 5/2.