Question

Y''-y=2x-1линейное уравнение первого порядка

Answer 1

Дифференциальное уравнение второго порядка со специальной правой части
Найти нужно Уо.н. = Уо.о. + Уч.н.
Найдем общее решение однородного уравнения.
$y''-y=0$
Используем метод Эйлера.
Пусть $y=e^{kx}$, тогда получаем характеристическое уравнение
$k^2-1=0\\ k=\pm1$
Тогда общее решение однородного уравнения будет иметь вид:
$y_{o.o.}=C_1y_1+C_2y_2=C_1e^{-x}+C_2e^x$

Положим $f(x)=2x-1$, многочлен степени х равен 1. Следовательно, частное решение будем находить в виде

Уч.н. $=Ax+B$
Найдем производную второго порядка
$y''=0$
Подставим в исходное уравнение, получаем:
$-Ax-B=2x-1$
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х
$\displaystyle \left \{ {{-A=2} \atop {-B=-1}} \right. \Rightarrow \left \{ {{A=-2} \atop {B=1}} \right.$
Уч.н. = $-2x+1$

Тогда решение исходного уравнения:

$\boxed{Y_{O.H.}=C_1e^{-x}+C_2e^x-2x+1}$

Answer 2

Линейное уравнение первого порядка

Уравнение, которое вы предоставили, Y'' - y = 2x - 1, является линейным уравнением первого порядка. Давайте разберемся, как его решить.

Для начала, давайте определимся с обозначениями. Обычно, в линейных уравнениях первого порядка, используются обозначения y для функции, x для независимой переменной и C для постоянной.

Теперь, чтобы решить данное уравнение, мы можем использовать метод вариации постоянной. Этот метод основан на предположении, что решение может быть записано в виде y = u(x) * v(x), где u(x) и v(x) - функции, которые мы должны найти.

Давайте продолжим и найдем решение этого уравнения.

Решение линейного уравнения первого порядка

1. Найдем общее решение дифференциального уравнения Y'' - y = 0. Для этого предположим, что y = e^rx, где r - неизвестная константа. Подставим это предположение в уравнение и получим характеристическое уравнение r^2 - 1 = 0. Решив его, получим два корня: r = 1 и r = -1.

2. Теперь, используя найденные корни, найдем общее решение уравнения Y'' - y = 0. Общее решение будет иметь вид y = C1 * e^x + C2 * e^(-x), где C1 и C2 - произвольные постоянные.

3. Чтобы найти частное решение уравнения Y'' - y = 2x - 1, мы предполагаем, что y = u(x) * v(x), где u(x) и v(x) - функции, которые мы должны найти. Подставим это предположение в уравнение и найдем значения u(x) и v(x).

4. После нахождения u(x) и v(x), мы можем записать частное решение в виде y = u(x) * v(x).

Таким образом, общее решение уравнения Y'' - y = 2x - 1 будет иметь вид y = C1 * e^x + C2 * e^(-x) + u(x) * v(x), где C1 и C2 - произвольные постоянные, а u(x) и v(x) - функции, которые мы должны найти.

Примечание

Предоставленные выше шаги являются общими методами решения линейных уравнений первого порядка. Однако, для данного конкретного уравнения, нам не хватает информации для точного решения. Если у вас есть дополнительные условия или ограничения, пожалуйста, укажите их, чтобы мы могли предоставить более точный ответ.

Надеюсь, эта информация была полезной! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.