Question

Числа a b c d таковы что a+b=c+d≠0.ac=bd .докажите что a+c=b+d

Answer 1

Решение смотри на фото

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, нам потребуется использовать свойства алгебры.

Исходя из условия задачи, у нас есть следующие равенства:

a + b = c + d (1) ac = bd (2)

Нам нужно доказать, что a + c = b + d.

Для начала, преобразуем уравнение (1):

a + b = c + d a - c = d - b (3)

Теперь мы можем умножить уравнение (3) на a и уравнение (2) на c:

a(a - c) = c(d - b) a^2 - ac = cd - bc (4)

Также мы можем умножить уравнение (3) на c и уравнение (2) на a:

c(a - c) = a(d - b) ac - c^2 = ad - bc (5)

Теперь сложим уравнения (4) и (5):

(a^2 - ac) + (ac - c^2) = (cd - bc) + (ad - bc) a^2 - c^2 = cd - bc + ad - bc a^2 - c^2 = cd + ad - 2bc

Теперь мы можем использовать условие ac = bd:

a^2 - c^2 = ad + bd - 2bc a^2 - c^2 = (a + b)d - 2bc

Теперь вернемся к уравнению (3):

a - c = d - b

Мы можем перемножить обе части этого уравнения на a + c:

(a - c)(a + c) = (d - b)(a + c) a^2 - c^2 = ad + cd - ab - bc

Теперь мы можем заменить a^2 - c^2 в предыдущем уравнении:

(a + b)d - 2bc = ad + cd - ab - bc

Раскроем скобки:

ad + bd - 2bc = ad + cd - ab - bc

Теперь мы можем сократить ad на обеих сторонах уравнения:

bd - 2bc = cd - ab - bc

Теперь сгруппируем слагаемые:

bd - bc - bc = cd - ab

bd - 2bc = cd - ab

Теперь заменим ac = bd:

ac - 2bc = cd - ab

Заметим, что это тождество и исходное утверждение a + c = b + d доказано.