Question

Помогите пожалуйста разобраться f(x)=(5x-1)(2-x^-2),f'(-1)=?

Answer 1

Поставь вместо х (-1)

Answer 2

Для того чтобы найти производную функции f(x), мы будем использовать правило производной произведения функций (Product Rule) и правило производной обратной функции (Chain Rule).

Функция f(x) дана в виде произведения двух функций: (5x-1) и (2-x^(-2)). Давайте начнем с нахождения производной каждой из этих функций.

Для первой функции (5x-1), производная будет равна 5, так как производная по x от константы (в данном случае -1) равна 0, а производная по x от 5x равна 5.

Для второй функции (2-x^(-2)), нам понадобится использовать как правило производной разности функций, так и правило производной обратной функции.

Начнем с правила производной разности функций. Производная от 2 будет равна 0, так как это константа. Для второй части (x^(-2)), мы будем использовать правило производной обратной функции.

Правило производной обратной функции гласит, что производная обратной функции f^(-1)(x) равна 1/f'(f^(-1)(x)). В данном случае, обратная функция будет f^(-1)(x) = x^(-2), поэтому мы должны найти производную f'(x^(-2)).

Для нахождения производной f'(x^(-2)), мы будем использовать правило производной степенной функции. Производная степенной функции x^n равна n*x^(n-1). В данном случае, производная x^(-2) будет равна -2*x^(-3).

Итак, мы получили производные для каждой из функций: f'(5x-1) = 5 и f'(2-x^(-2)) = 0 - 2*x^(-3).

Теперь мы можем использовать правило производной произведения функций (Product Rule), чтобы найти производную функции f(x).

Правило производной произведения функций гласит, что производная произведения двух функций f(x) = u(x)*v(x) равна u'(x)*v(x) + u(x)*v'(x), где u'(x) - производная первой функции u(x), v(x) - второй функции, а v'(x) - производная второй функции v(x).

Применяя это правило к нашей функции f(x) = (5x-1)(2-x^(-2)), мы получаем:

f'(x) = (5)*(2-x^(-2)) + (5x-1)*(0 - 2*x^(-3))

Упрощая это выражение, получаем:

f'(x) = 10 - 5x^(-2) - 10x^(-2) + 2x^(-3)

Теперь мы можем вычислить f'(-1), подставив x = -1 в выражение для производной:

f'(-1) = 10 - 5(-1)^(-2) - 10(-1)^(-2) + 2(-1)^(-3)

Вспоминая, что (-1)^(-1) = -1, (-1)^(-2) = 1 и (-1)^(-3) = -1, мы получаем:

f'(-1) = 10 - 5(1) - 10(1) + 2(-1)

f'(-1) = 10 - 5 - 10 - 2

f'(-1) = -7

Таким образом, f'(-1) равно -7.