Question

Найдите значение выражения: √19*cos(π/3-x), если cosx=4/√19, π≤x≤2π

Answer 1

1) Cos(π/3 - x) = Cos π/3 Cos x + Sinπ/3 Sin x= 1/2·Cos x + √3/2·Sin x
Всё решается, если найдём Sin x
2) Sin²x + Cos²x = 1
Sin²x = 1 - Cos²x = 1 - 16/19 = 3/19 ⇒ Sin x = - √3/√19 
(π ≤ x ≤2π это 4 четверть и синус там с минусом)
3) √19(1/2·Cos x + √3/2·Sin x) = √19(1/2·4/√19 + √3/2·√3/√19)=
=2 + 3/2 = 2 + 1,5 = 3,5

Answer 2

Дано выражение: √19*cos(π/3-x), где cosx = 4/√19 и π ≤ x ≤ 2π. Наша задача - найти значение этого выражения.

Давайте начнем с известных значений. У нас есть cosx = 4/√19. Рассмотрим промежуток значений x, который нам дан: π ≤ x ≤ 2π. В этом промежутке cosx принимает положительные значения, так как cosx положителен во второй четверти (π/2 ≤ x ≤ π) и первой четверти (0 ≤ x ≤ π/2) на координатной плоскости.

Теперь рассмотрим значение cos(π/3-x). Мы знаем, что cos(π/3) = 1/2. Используя формулу cos(α-β) = cosα*cosβ + sinα*sinβ, мы можем переписать выражение следующим образом:

cos(π/3-x) = cos(π/3)*cos(x) + sin(π/3)*sin(x)

Так как cos(π/3) = 1/2 и sin(π/3) = √3/2, мы можем подставить эти значения:

cos(π/3-x) = (1/2)*(4/√19) + (√3/2)*(sin(x))

Теперь, чтобы найти значение данного выражения, нам нужно найти значение sin(x). Мы знаем, что cosx = 4/√19. Воспользуемся тождеством cos²x + sin²x = 1:

(4/√19)² + sin²x = 1

(16/19) + sin²x = 1

sin²x = 1 - (16/19)

sin²x = 3/19

sinx = ±√(3/19)

Так как мы знаем, что sinx положителен в первой и второй четвертях, мы можем взять положительное значение для sinx:

sinx = √(3/19)

Теперь мы можем подставить это значение в наше выражение для cos(π/3-x):

cos(π/3-x) = (1/2)*(4/√19) + (√3/2)*(√(3/19))

cos(π/3-x) = (2/√19) + (√3/2)*(√(3/19))

Мы можем упростить это выражение, умножив и объединив корни:

cos(π/3-x) = (2/√19) + (√(9/19))

cos(π/3-x) = (2/√19) + (3/√19)

cos(π/3-x) = (2 + 3)/√19

cos(π/3-x) = 5/√19

Таким образом, значение выражения √19*cos(π/3-x), если cosx = 4/√19 и π ≤ x ≤ 2π, равно 5.