Question

Помогите плиииииз) Очень надооооооооlim (x->2) sin 2*(x-2)/(x-2)lim (x->0) sin(3x+x^2)/x

Answer 1

Надо заменить бесконечно малые на им эквивалентные величины
$sin \alpha \approx \alpha ,\; esli\; \; \alpha \to 0\\\\lim_{x\to 2}\frac{sin2(x-2)}{x-2}=lim_{x\to 2}\frac{2(x-2)}{x-2}=2\\\\lim_{x\to 0}\frac{sin(3x+x^2)}{x}=lim_{x\to 0}\frac{3x+x^2}{x}=lim_{x\to 0}\frac{x(3+x)}{x}=\\\\lim_{x\to 0}(3+x)=3$

Answer 2

Вычисление пределов функций

Давайте начнем с первого предела:

Предел 1: lim (x->2) sin(2*(x-2))/(x-2)

Сначала мы можем заметить, что в числителе у нас есть выражение sin(2*(x-2)), которое можно упростить, используя формулу двойного угла: sin(2A) = 2*sin(A)*cos(A).

Теперь мы можем записать наше выражение следующим образом:

lim (x->2) 2*sin(x-2)*cos(x-2)/(x-2)

Теперь, если мы подставим x=2, заменяя (x-2) на 0, то у нас получится 0 в знаменателе. Это означает, что у нас есть неопределенность вида 0/0, и мы можем использовать правило Лопиталя для нахождения предела.

Производная числителя: 2*cos(x-2) * (1) = 2*cos(0) = 2 Производная знаменателя: (1)

Теперь предел превращается в:

lim (x->2) 2*cos(x-2) = 2*cos(0) = 2

Таким образом, предел lim (x->2) sin(2*(x-2))/(x-2) равен 2.

Предел 2: lim (x->0) sin(3x+x^2)/x

Для этого предела мы можем заметить, что у нас есть неопределенность вида 0/0, поэтому мы можем использовать правило Лопиталя.

Производная числителя: 3*cos(3x+x^2) + 2x*cos(3x+x^2) Производная знаменателя: 1

Теперь предел превращается в:

lim (x->0) (3*cos(0) + 2*0*cos(0))/1 = 3

Таким образом, предел lim (x->0) sin(3x+x^2)/x равен 3.

Итоговый ответ: Предел 1: lim (x->2) sin(2*(x-2))/(x-2) = 2 Предел 2: lim (x->0) sin(3x+x^2)/x = 3