Question

В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 72, а сумма второго и третьего членов равна 144. Найдите первые 3 члена этой прогрессии

Answer 1

$\begin{cases}b_1+b_2=72\\b_2+b_3=144\end{cases}\\b_2=b_1q,\;b_3=b_1q^2\\\begin{cases}b_1+b_1q=72\\b_1q+b_1q^2=144\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}b_1(1+q)=72\\b_1(q+q^2)=144\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}b_1=\frac{72}{1+q}\\\frac{72}{1+q}\cdot(q+q^2)=144\end{cases}\\\frac{72}{1+q}\cdot(q+q^2)=144\\\frac{72q^2+72q}{1+q}=144\\\frac{72q(1+q)}{1+q}=144\\1+q\neq0\Rightarrow72q=144\Rightarrow q=2\\\begin{cases}b_1=24\\q=2\end{cases}\\b_1=24\\b_2=24\cdot2=48\\b_3=24\cdot3=72$

Answer 2

Пусть первый член геометрической прогрессии равен a, а знаменатель прогрессии равен q.

Тогда второй член прогрессии будет равен a*q, а третий член - a*q^2.

Из условия задачи имеем:

a + a*q = 72 (1) (сумма первого и второго членов равна 72) a*q + a*q^2 = 144 (2) (сумма второго и третьего членов равна 144)

Разделим уравнение (2) на уравнение (1):

(a*q + a*q^2) / (a + a*q) = 144 / 72 (q + q^2) / (1 + q) = 2 q^2 + q = 2 + 2q q^2 - q - 2 = 0 (q - 2)(q + 1) = 0

Отсюда получаем два возможных значения для q: q = 2 и q = -1.

Рассмотрим каждый случай по отдельности:

1) q = 2:

Подставим это значение в уравнения (1) и (2):

a + 2a = 72 3a = 72 a = 24

Таким образом, первый член a = 24, а знаменатель q = 2.

Тогда первые три члена геометрической прогрессии будут равны:

a = 24 a*q = 24*2 = 48 a*q^2 = 24*2^2 = 96

Итак, первые три члена прогрессии равны 24, 48 и 96.

2) q = -1:

Подставим это значение в уравнения (1) и (2):

a - a = 72 0 = 72

Уравнение не имеет решений при q = -1.

Таким образом, первые три члена геометрической прогрессии равны 24, 48 и 96.