Question

В кармане у Пети было 4 монеты по рублю и 2 монеты по два рубля. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что обе двухрублевые монеты лежат в одном кармане

Answer 1

Две двухрублевые монеты должны лежать в одном кармане. Значит, либо эти две монеты переложили во второй карман, либо после перекладывания трех монет они остались в первом кармане.

Случаи, когда две двухрублевые монеты переложили во второй карман 
(для удобства обозначим двухрублевую монету - 2, монету в один рубль - 1):

1) 1, 2, 2
2) 2, 1, 2
3) 2, 2, 1

Случай, когда обе двухрублевые монеты остались в первом кармане (это значит, что во второй карман переложили только монеты по одному рублю):

4) 1, 1, 1

Посчитаем вероятность первого события: 1, 2, 2.

Всего монет 4+2 = 6. Перекладываем монету в 1 рубль. Благоприятных событий 4 (т.к. всего 4 монеты по 1 рублю).
Вероятность того, что первой будет переложена монета в один рубль $\frac{4}{6}= \frac{2}{3}$

Теперь монет осталось 5, а двухрублевых монет 2.
Вероятность того, что второй будет переложена монета в 2 рубля $\frac{2}{5}$

Осталось 4 монеты. Из них одна монета в 2 рубля.
Вероятность того, что третьей монетой будет преложена монета в 2 рубля $\frac{1}{4}$

Вероятность того, что во второй карман будут переложены монеты: 1, 2, 2.
$\frac{2}{3}* \frac{2}{5}* \frac{1}{4}= \frac{1}{15}$

Рассмотрим второй случай: 2, 1, 2.
Вероятность того, что сначала будет переложена монета в 2 рубля $\frac{2}{6}= \frac{1}{3}$

Вероятность того, что второй будет переложена монета в 1 рубль $\frac{4}{5}$

Вероятность того, что третьей будет переложена монета в 2 рубля $\frac{1}{4}$

Вероятность события, что будут переложены монеты 2, 1, 2:
$\frac{1}{3} * \frac{4}{5} * \frac{1}{4}= \frac{1}{15}$

Посчитаем вероятность третьего случая: 2, 2, 1

Вероятность того, что первой переложена будет монета в 2 рубля $\frac{2}{6}= \frac{1}{3}$

Вероятность того, что второй будет переложена монета в 2 рубля $\frac{1}{5}$

Вероятность того, что третьей будет переложена монета в 1 рубль $\frac{4}{4} =1$

Вероятность наступления события, что будут переложены монеты 2, 2, 1
$\frac{1}{3}* \frac{1}{5}*1= \frac{1}{15}$

Посчитаем вероятность наступления четвертого события: 1, 1, 1.

Вероятность того, что первой будет переложена монета в 1 рубль $\frac{4}{6}= \frac{2}{3}$

Вероятность того, что второй будет переложена монета в 1 рубль $\frac{3}{5}$

Вероятность того, что третьей будет переложена монета в 1 рубль $\frac{2}{4}= \frac{1}{2}$

Вероятность того, что переложены будут монеты 1, 1, 1:
$\frac{2}{3}* \frac{3}{5}* \frac{1}{2}= \frac{1}{5}$

Нас устраивает наступление любого из рассмотренных четырех событий, поэтому все эти вероятности складываем.

$\frac{1}{15} + \frac{1}{15}+ \frac{1}{15}+ \frac{1}{5}= \frac{1+1+1+3}{15} = \frac{6}{15}= \frac{2}{5}=0,4$

Ответ: 0,4

Answer 2

Problem Analysis

In this problem, we are given that Petya has 4 one-ruble coins and 2 two-ruble coins in his pocket. Without looking, he transfers 3 coins to another pocket. We need to find the probability that both two-ruble coins are in the same pocket.

Solution

To solve this problem, we can use the concept of combinations. Let's consider the two pockets as Pocket A and Pocket B. Petya can transfer the coins in the following ways: 1. Transfer all 3 coins to Pocket A. 2. Transfer 2 coins to Pocket A and 1 coin to Pocket B. 3. Transfer 1 coin to Pocket A and 2 coins to Pocket B. 4. Transfer all 3 coins to Pocket B.

We need to find the probability of the second case, where 2 two-ruble coins are in Pocket A and 1 coin is in Pocket B.

Calculation

To calculate the probability, we need to determine the total number of possible outcomes and the number of favorable outcomes.

Total Number of Outcomes: The total number of outcomes is the number of ways Petya can transfer 3 coins from a total of 6 coins. This can be calculated using combinations. The formula for combinations is given by:

C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)

Where n is the total number of items and k is the number of items chosen.

In this case, n = 6 (total number of coins) and k = 3 (number of coins transferred). Therefore, the total number of outcomes is:

C(6, 3) = 6! / (3! * (6-3)!) = 20

Number of Favorable Outcomes: To calculate the number of favorable outcomes, we need to determine the number of ways Petya can transfer 2 two-ruble coins to Pocket A and 1 coin to Pocket B.

The number of ways to choose 2 two-ruble coins from a total of 2 is 1 (as there are only 2 two-ruble coins). Similarly, the number of ways to choose 1 coin from a total of 4 one-ruble coins is 4.

Therefore, the number of favorable outcomes is:

1 * 4 = 4

Probability Calculation

Finally, we can calculate the probability by dividing the number of favorable outcomes by the total number of outcomes:

Probability = Number of Favorable Outcomes / Total Number of Outcomes = 4 / 20 = 0.2

Therefore, the probability that both two-ruble coins are in the same pocket is 0.2.

Answer

The probability that both two-ruble coins are in the same pocket is 0.2.