Question

ковш экскаватора имеет форму прямоугольного параллелепипеда без верхней крышки при каких размерах на изготовление ковша вместимостью V=3,2м пойдет наименьшее колличество материалаесли если известно что длинна равна ширине?

Answer 1

Пусть длина и ширина - а, высота - h. Тогда объём ковша будет:
V = a*a*h = a^2 * h
А количество пошедшего на изготовление материала будет равно площади его поверхности минус площадь верха, или другими словами - площадь низа плюс четыре площади боковых сторон:
S = a^2 + 4ah
Мы знаем, что V=3,2 и соответственно можем выразить h через a:
3,2 = a^2*h
h = 3,2 / a^2
Подставляем в выражение для площади:
S = a^2 + 4a* (3,2 / a^2) = a^2 + 12,8/a
Теперь надо представить, что это функция от a, и найти её минимум. В точке минимума производная будет нулевой и менять знак с минуса на плюс - значит ищем производную:
S(a) = a^2 + 12,8/a
S'(a) = 2a + 12,8 * (-1)/a^2 = 2a - 12,8/a^2
Приравнивая её к нулю, получаем:
0 = 2a - 12,8/a^2
2a = 12,8/a^2
2a^3 =12,8
a^3 = 6,4
a = ∛6,4 = 1,86 м (приближённо)
Отсюда h = 3,2 / a^2 = 3,2/1,86^2 = 0,92 м

Answer 2

Calculating the Dimensions of the Excavator Bucket:

To calculate the dimensions of the excavator bucket, we can use the formula for the volume of a rectangular prism, which is given by:

Volume (V) = Length (l) × Width (w) × Height (h)

Given that the volume of the excavator bucket is 3.2 cubic meters and the length is equal to the width, we can calculate the dimensions.

Let's denote the length (l) and width (w) as x.

Calculating the Dimensions:

Using the given information, we have the equation: V = x * x * h = 3.2

Since the length is equal to the width, we can rewrite the equation as: V = x^2 * h = 3.2

To find the minimum amount of material needed, we need to minimize the surface area of the bucket. This occurs when the height is maximized. Therefore, we can solve for the height in terms of x: h = 3.2 / x^2

Finding the Minimum Material:

To find the minimum amount of material needed, we need to minimize the surface area of the bucket. This occurs when the height is maximized. Therefore, we can solve for the height in terms of x: h = 3.2 / x^2

To minimize the surface area, we need to minimize the function: A = 2x^2 + 4xh

Substitute the expression for h: A = 2x^2 + 4x(3.2 / x^2) = 2x^2 + 12.8 / x

To find the minimum, we take the derivative of A with respect to x and set it to zero: dA/dx = 4x - 12.8 / x^2 = 0

Solving for x, we get: x^3 = 3.2

Taking the cube root of both sides: x = ∛3.2 ≈ 1.464

Therefore, the minimum dimensions for the excavator bucket, where the length is equal to the width, are approximately 1.464 meters.

Conclusion:

The minimum dimensions for the excavator bucket, with a volume of 3.2 cubic meters and where the length is equal to the width, are approximately 1.464 meters.