Question

Дана функция f(x)= e в степени-2 *x в квадрате(если расписать по матем.,то e^(-2*x^2) ),x0=0,найти первую и вторую производную.Вычислить значения этих. производных в заданной точке Хо=0 Найти уравнения касания и нормали в точке Хо=0

Answer 1

F(x)=e^(-2x²)
f(x0)=e^(-2*0²)=1
f'(x)=e^(-2x²)*(-4x)
f'(0)=e^(-2*0²)*(-4*0)=0
f''(x)=e^(-2x²)*(-4x)²-4e^(-2x²)=4*e^(-2x²)(4х²-1)
f''(0)=e^(-2*0²)*(-4*0)²-4e^(-2*0²)=0
общее уравнение касательной в точке х0:
f(x0)=f'(x0)*(x-x0)+f(x0)
f(x0)=0*(x-0)+1=1
f(x) в точке х0 имеет вид
f(x0)=1
уравнение нормали
f(x0)=f(x0)-1/f'(x0)*(x-x0)
f(0)=1-1/0*(x-0) , уравнение составить невозможно, деление на 0.

Answer 2

Для начала найдем первую производную функции f(x).

f'(x) = d/dx (e^(-2*x^2))

Для этого воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции.

f'(x) = d/dx (e^u) * du/dx

где u = -2*x^2

По правилу дифференцирования экспоненты, производная e^u равна e^u * du/dx.

Подставляем значения и получаем:

f'(x) = e^(-2*x^2) * (-4*x)

Теперь найдем вторую производную функции f(x).

f''(x) = d/dx (e^(-2*x^2) * (-4*x))

Используем правило дифференцирования произведения функций:

f''(x) = (d/dx (e^(-2*x^2))) * (-4*x) + e^(-2*x^2) * (-4)

f''(x) = (-4*e^(-2*x^2) * (-4*x)) + e^(-2*x^2) * (-4)

f''(x) = 16*x*e^(-2*x^2) - 4*e^(-2*x^2)

Теперь вычислим значения первой и второй производной в заданной точке x0 = 0:

f'(0) = e^(-2*0^2) * (-4*0) = 0

f''(0) = 16*0*e^(-2*0^2) - 4*e^(-2*0^2) = -4

Уравнение касательной в точке x0 = 0:

y - f(0) = f'(0) * (x - 0)

Так как f(0) = e^(-2*0^2) = 1, то уравнение касательной принимает вид:

y - 1 = 0

Уравнение нормали в точке x0 = 0:

y - f(0) = -1/f'(0) * (x - 0)

Так как f'(0) = 0, то уравнение нормали не имеет определенного вида.