Question

Помогите решить уравнение: (y²-2xy)dx-x²dy=0

Answer 1

$(y^2-2xy)dx=x^2dy\\ (\frac{y}{x})^2 -2\frac{y}{x}=y'$
Получили однородное уравнение.
$u(x)=\frac{y}{x}, y=ux, y'=u'x+u\\ u'x+u=u^2-2u \\ \frac{du}{dx}x=u^2-3u\\ \int\frac{du}{u^2-3u}=\int\frac{dx}{x}\\ \frac{1}{3}(\ln|3-u|-\ln|u|)=\ln|Cx|\\ \frac{3-u}{u}=Cx^3\\ \frac{3x-y}{y}=Cx^3\\ 3x-y-C_1x^3y=0, \left \{ {{y=0} \atop {x=C_2}} \right.$

Answer 2

Данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах, так как оно может быть записано в виде:

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0

где M(x, y) = y² - 2xy и N(x, y) = -x².

Чтобы решить это уравнение, мы можем использовать метод интегрирующего множителя. Множитель является функцией μ(x, y), которая удовлетворяет условию:

∂(μM)/∂y = ∂(μN)/∂x

Давайте найдем этот множитель:

1. Найдем частные производные ∂(μM)/∂y и ∂(μN)/∂x:

∂(μM)/∂y = ∂(μ(y² - 2xy))/∂y = μ(2y - 2x) ∂(μN)/∂x = ∂(μ(-x²))/∂x = -2μx

2. Приравняем эти выражения:

μ(2y - 2x) = -2μx

3. Разделим обе части на μ и упростим выражение:

2y - 2x = -2x 2y = 0

4. Мы получили уравнение 2y = 0. Однако, это не может быть множителем, так как он равен нулю при любом значении y. Это означает, что данное уравнение не имеет интегрирующего множителя и не является уравнением в полных дифференциалах.

Следовательно, для данного уравнения требуется использовать другие методы решения, такие как метод разделения переменных или метод интегрирующего множителя с другими предположениями или преобразованиями. Если у вас есть дополнительные условия или ограничения, пожалуйста, предоставьте их, чтобы мы могли предложить более конкретное решение.