Question

Найдите наименьшее значение функции y=x^3-3x^2+2 на отрезке [1;4 ]

Answer 1

Y`=3x²-6x=3x(x-2)=0
x=0∉[1;4]
x=2∈[1;4]
y(1)=1-3+2=0
y(2)=8-12+2=-2-наим
y(4)=64-48+2=18

Answer 2

Для того, чтобы найти наименьшее значение функции y=x^3-3x^2+2 на отрезке [1;4], нужно выполнить следующие шаги:

- Найти производную функции y'=3x^2-6x и приравнять ее к нулю, чтобы найти критические точки: 3x^2-6x=0, откуда x=0 или x=2. - Проверить, попадают ли критические точки в отрезок [1;4]. Только x=2 попадает, поэтому это потенциальная точка минимума или максимума. - Найти вторую производную функции y''=6x-6 и подставить в нее значение x=2, чтобы проверить, является ли она точкой минимума или максимума: y''(2)=6*2-6=6>0, значит, x=2 - точка минимума. - Найти значение функции в точке минимума: y(2)=2^3-3*2^2+2=-2. - Сравнить значение функции в точке минимума с значениями функции в концах отрезка: y(1)=1^3-3*1^2+2=0, y(4)=4^3-3*4^2+2=18. - Выбрать наименьшее из трех значений: -2, 0, 18. Наименьшее значение -2, поэтому наименьшее значение функции y=x^3-3x^2+2 на отрезке [1;4] равно -2.

Ответ: наименьшее значение функции y=x^3-3x^2+2 на отрезке [1;4] равно -2.