Question

Найти области определения данных функций: 1) y= корень 1 - log x 2)y= корень x^2 - 3x + 2 +(1/(корень 3 + 2x - x^2))

Answer 1

Найти области определения данных функций:1) y= √( 1 - log x)

1 - lg x≥0 ⇔ x>0,  log x≤1  ⇔x>0,   x≤10  
--------------0/////////////////////////////
/////////////////////////////////////10]-------------  
x∈(0;10]

2)y= √( x^2 - 3x + 2) +1/(√( 3 + 2x - x^2))
x^2 - 3x + 2≥0           (x-2)(x-1)≥0 
3 + 2x - x^2>0          -(x-3)(x+1)>0 
       +                        -                   +
////////////////////1]-----------------[2////////////////
         -                       +                          -
-----------(-1)////////////////////////////////////(3)------
ответ:
x∈(-1;1]∪[2;3)

Answer 2

Для определения областей определения данных функций необходимо учесть ограничения, которые могут возникнуть при вычислении значений функций. Давайте рассмотрим каждую функцию по отдельности.

1) y = √(1 - log(x))

Для определения области определения этой функции необходимо учесть два фактора: корень и логарифм.

Корень: чтобы значение под корнем было действительным числом, необходимо, чтобы выражение `(1 - log(x))` было неотрицательным. То есть:

1 - log(x) ≥ 0

log(x) ≤ 1

x ≥ 10^(-1)

Логарифм: логарифм отрицательного числа или нуля не определен, поэтому условие `log(x) ≤ 1` исключает отрицательные значения и ноль из области определения.

Таким образом, область определения функции y = √(1 - log(x)) - это все положительные числа больше или равные 10^(-1), то есть `[10^(-1), +∞)`.

2) y = √(x^2 - 3x + 2) + (1/(√(3 + 2x - x^2)))

Для определения области определения этой функции также нужно учесть два фактора: корень и дробь.

Корень: чтобы значение под корнем было действительным числом, необходимо, чтобы выражение `(x^2 - 3x + 2)` было неотрицательным. То есть:

x^2 - 3x + 2 ≥ 0

(x - 2)(x - 1) ≥ 0

В этом случае, чтобы произведение двух чисел было неотрицательным, оба числа должны быть либо положительными, либо отрицательными. Таким образом, область определения функции y = √(x^2 - 3x + 2) будет включать числа отрицательные до 1 и числа положительные после 2, то есть `(-∞, 1] ∪ [2, +∞)`.

Дробь: чтобы значение знаменателя было отличным от нуля, необходимо, чтобы выражение `(3 + 2x - x^2)` не равнялось нулю. То есть:

3 + 2x - x^2 ≠ 0

x^2 - 2x - 3 ≠ 0

(x - 3)(x + 1) ≠ 0

В этом случае, чтобы произведение двух чисел было отличным от нуля, оба числа должны быть либо положительными, либо отрицательными. Таким образом, область определения функции y = √(x^2 - 3x + 2) + (1/(√(3 + 2x - x^2))) будет включать числа отрицательные до -1 и числа положительные после 3, то есть `(-∞, -1] ∪ [3, +∞)`.

Итоговая область определения для обеих функций:

Для функции y = √(1 - log(x)) область определения: `[10^(-1), +∞)`.

Для функции y = √(x^2 - 3x + 2) + (1/(√(3 + 2x - x^2))) область определения: `(-∞, -1] ∪ [3, +∞)`.