Question

Дайте определение цилиндрической поверхности и расскажите о Ее уравнении

Answer 1

2. Цилиндрические поверхности

Цилиндрической поверхностью называется поверхность, составленная из всех прямых, пересекающих данную линию L и параллельных данной прямой I. При этом линия L называется направляющей цилиндрической поверхности, а каждая из прямых, составляющих эту поверхность и параллельных прямой - образующей (рис. 89). В дальнейшем мы будем рассматривать только такие цилиндрические поверхности, направляющие которых лежат в одной из координатных плоскостей, а образующие параллельны координатной оси, перпендикулярной этой плоскости.

Рассмотрим в плоскости Оху некоторую линию L, имеющую в системе координат Оху уравнение

Построим цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Oz и направляющей L (рис. 90). Покажем, что уравнением этой поверхности будет уравнение (39), если его отнести к системе координат в пространстве . Пусть — любая фиксированная точка построенной цилиндрической поверхности.

Рис. 89

Рис. 90

Обозначим через N точку пересечения направляющей L и образующей, проходящей через точку М. Точка очевидно, будет проекцией точки М на плоскость Поэтому точки М и N имеют одну и ту же абсциссу и одну и ту же ординату у. Но точка N лежит на кривой L, и ее координаты х и у удовлетворяют уравнению (39) этой кривой. Следовательно, этому уравнению удовлетворяют и координаты точки , так как не содержит . Таким образом, координаты любой точки данной цилиндрической поверхности удовлетворяют уравнению (39). Координаты же точек, не лежащих на этой поверхности, уравнению (39) не удовлетворяют, так как эти точки проектируются на плоскость вне кривой

Таким образом, не содержащее уравнение если его отнести к системе координат в пространстве , является уравнением цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси и направляющей L, которая в плоскости задается тем же уравнением

В пространстве направляющая L определяется системой двух уравнений:

Аналогично можно показать, что уравнение не содержащее у, и уравнение не содержащее определяют в пространстве Охуг цилиндрические поверхности с образующими, параллельными соответственно осям

Рис. 91

Рассмотрим примеры цилиндрических поверхностей.

1. Поверхность, определяемая уравнением

является цилиндрической и называется эллиптическим цилиндром (рис. 91).

Ее образующие параллельны оси а направляющей является эллипс с полуосями а и b, лежащий в плоскости . В частности, если то направляющей является окружность, а поверхность является прямым круговым цилиндром. Его уравнение

2. Цилиндрическая поверхность, определяемая уравнением

называется гиперболическим цилиндром (рис. 92). Образующие этой поверхности параллельны оси а направляющей служит расположенная в плоскости гипербола с действительной полуосью а и мнимой полуосью b.

3. Цилиндрическая поверхность, определяемая уравнением

называется параболическим цилиндром (рис. 93). Ее направляющей является парабола, лежащая в плоскости , а образующие параллельны оси Ох.

Замечание. Как известно, прямая в пространстве может быть задана уравнениями различных пар плоскостей, пересекающихся по этой прямой. Подобно этому кривая в пространстве может быть задана с помощью уравнений различных поверхностей, пересекающихся по этой кривой.

Например, окружность С, получающаяся сечении плоскостью сферы (см. § 2, п. 1), может быть задана системой уравнений

С другой стороны, эта окружность может быть получена как пересечение плоскости и прямого кругового цилиндра т. е. задана системой уравнений

равносильной системе уравнений (44).

Рис. 92

Рис. 93

В дальнейшем, исследуя форму той или иной поверхности с помощью сечений, параллельных координатным плоскостям, мы не раз будем пользоваться цилиндрическими поверхностями, проектирующими эти сечения на координатные плоскости. Это позволит так же, как в рассмотренном примере, судить о размерах и форме указанных сечений, а тем самым и о форме исследуемых поверхностей.

Answer 2

Цилиндрическая поверхность

Цилиндрическая поверхность - это геометрическая фигура, которая образуется при движении прямой линии (называемой образующей) вдоль замкнутой кривой (называемой направляющей). Она имеет форму бесконечного цилиндра и состоит из всех точек, которые находятся на одинаковом расстоянии от направляющей.

Уравнение цилиндрической поверхности

Уравнение цилиндрической поверхности зависит от формы и положения направляющей кривой. В общем случае, уравнение цилиндрической поверхности можно записать в виде:

F(x, y, z) = 0

где F(x, y, z) - это функция, которая определяет форму и положение поверхности, а (x, y, z) - это координаты точки на поверхности.

Например, для простого случая цилиндра с осью, параллельной оси z, и радиусом R, уравнение цилиндрической поверхности будет иметь вид:

x^2 + y^2 - R^2 = 0

Это уравнение описывает все точки (x, y, z), которые находятся на поверхности цилиндра с радиусом R и осью, параллельной оси z.

Примеры цилиндрических поверхностей

Цилиндрические поверхности могут иметь различные формы и положения в пространстве. Некоторые примеры цилиндрических поверхностей включают:

1. Цилиндр: это прямой цилиндрический объект с круглыми основаниями. Уравнение цилиндра будет иметь вид x^2 + y^2 - R^2 = 0, где R - радиус основания цилиндра.

2. Конус: это цилиндрическая поверхность, у которой одно из оснований является точкой. Уравнение конуса будет зависеть от формы и положения основания и может быть более сложным.

3. Эллиптический цилиндр: это цилиндрическая поверхность с эллиптическими основаниями. Уравнение эллиптического цилиндра будет иметь вид (x/a)^2 + (y/b)^2 - 1 = 0, где a и b - полуоси эллипса.

4. Параболический цилиндр: это цилиндрическая поверхность с параболическими основаниями. Уравнение параболического цилиндра будет зависеть от формы и положения параболы и может быть более сложным.

Это лишь некоторые примеры цилиндрических поверхностей, и существует множество других форм и вариаций, которые могут быть описаны уравнениями цилиндрических поверхностей.