Question

А)Почленно сложить: 1.7+6=7.7 0.5-1.7=-1.2 б)Почленно умножить: 3.8-5=-1.2 3=0.6+2.4

Answer 1

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА  I

§ 12 Почленное умножение неравенств

Теорема. Неравенства одинакового смысла с положительными частями можно почленно умножать.

Доказательство. Пусть а > b и с > d, причем числа а, b, с и d положительны. Докажем, что aс > bd.

Умножив неравенство а > b почленно на положительное число с, получим ас > bc. Умножив затем неравенство с > d почленно на положительное число b, получим bc > bd. Теперь имеем: ас > bc, a bc > bd. Но тогда по второму основному свойству неравенств (§ 10) должно быть ас > bd.

Аналогично может быть рассмотрен случай, когда a < b и c < d.

Примеры:

Следствие 1. Если а > b, причем числа а и b положительны, то для любого натурального п

аn  >  bn.

Действительно, умножая почленно неравенство а > b само на себя,  получим а2 > b2. Умножая затем почленно полученное неравенство на исходное неравенство а > b, получим а3 > b3 и т. д.

Следствие 2. Если числа  а   и   b  положительны  и

аn  >  bn                (1)

(п — натуральное число), то а > b.

Действительно, возможен один из трех случаев: а = b, a < b и а > b. 
Если    а = b,    то    аn  =  bn. 
При а < b мы имели бы b > а, и потому по следствию 1  bn > аn . И то и другое противоречит неравенству (1).      
Остается признать, что а > b.

Пример.   Определить, какое число больше: √5  + √6  или  √3  + √8 .

Возвысим оба числа в квадрат:

(√5  + √6 )2 = 5 + 2√30  + 6 = 11 + 2√30  ; 
(√3  + √8 )2 = 3 + 2√24  + 8 = 11 + 2√24

Квадрат первого числа больше квадрата второго числа. Так как эти числа положительны, то по следствию 2

√5  + √6  > √3  + √8 :

Упражнения

93.  Любые  ли  два   неравенства   одинакового  смысла   можно почленно умножить? (Рассмотрите пример:    3 > — 10   и    — 2 > — 7.)

94.   а) Всегда ли из а > b вытекает, что аn  >  bn ? Ответ   пояснить  примерами.

б) Следует ли из аn  <  bn, что а < b? Ответ пояснить примерами.

В задачах № 95—102 сравнить данные числа, то есть выяснить, какое из них больше и какое меньше:

95. √2  + √3  и  √7 .                                99*. 3√2 + 3√4  и 3√26?

96. √5  + √3   и  √6  + √2                    100. (1 + √5)100 и 3100.

97. √11 — √10  и √6  — √5 .              101. (√7 +√2)9 и 49.

98. √8  — √15  и  1/2(√30 — √2 )        102. (√5 —√3)51 и  (√6 —√2)51

ОТВЕТЫ ТОЛЬКО ТАК

Answer 2

Давайте рассмотрим каждую часть задания по очереди.

а) Почленное сложение: 1.7 + 6 = 7.7 0.5 - 1.7 = -1.2

Получились два слагаемых: 7.7 и -1.2.

б) Почленное умножение: 3.8 - 5 = -1.2 -1.2 + 3 = 0.6 0.6 + 2.4 = 3.0

Получились три произведения: -1.2, 0.6 и 3.0.

Таким образом, ответы на задачу будут следующими: а) Почленное сложение: 7.7 и -1.2 б) Почленное умножение: -1.2, 0.6 и 3.0