Question

Найдите частное решение дифференциального уравнения.(с этапами решения) Не могу "разделить переменные". Кто сможет помогите буду благодарен! (x^2-y^2)*y`=2xy, y(1)=1 y` - в производной

Answer 1

Имеем однородное уравнение. Решаем стандартно - замена t(x) = y(x) / x
Тогда y = t x, y' = x t' + t

(1 - t^2) x^2 (x t' + t) = 2 x^2 t
(1 - t^2) (x t' + t) = 2t
x t' = 2t / (1 - t^2) - t = t (1 + t^2) / (1 - t^2)

В таком уравнении переменные разделять уже очень просто.
dt * (1 - t^2) / (t (1 + t^2)) = dx / x
Интегрируем левую часть:
$\displaystyle \int \frac{1+t^2-2t^2}{t(1+t^2)}dt=\ln |t|-\ln(1+t^2)+\ln|C|$
Правая часть - ln|x|.

Итак, $\ln |t|-\ln(1+t^2)+\ln|C|=\ln|x|$
Домножаем на двойку и берем экспоненту обеих частей:
$\dfrac{C^2t^2}{(1+t^2)^2}=x^2$

Константу определим прямо сейчас, заметив, что t(1) = y(1) / 1 = 1, С^2 = 4.

(При решении учтено, что y(1) = 1).
$\dfrac{4y^2/x^2}{(1+y^2/x^2)^2}=x^2\\ \dfrac{4y^2}{(x^2+y^2)^2}=1\\ (x^2+y^2)^2-4y^2=0\\ (x^2+y^2-2y)(x^2+y^2+2y)=0\\ x^2+y^2-2y=0\\ (y-1)^2=1-x^2\\ y=1\pm\sqrt{1-x^2}$

Это и есть ответ. Полезно отметить, что условия для теорем единственности не выполнены, и решение не единственно (и, вообще говоря, всё настолько плохо, что решения не дифференцируемы в точке x = 1) 

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение не является уравнением, разрешенным относительно производной, поэтому его можно преобразовать к такому виду.

Исходное уравнение: (x^2-y^2)*y`=2xy, y(1)=1

Для начала преобразуем уравнение, разделив обе части на (x^2-y^2):

y` = (2xy) / (x^2-y^2)

Теперь проведем замену переменных:

y = vx

Тогда y` = v + x*v`

Подставим замену в уравнение:

v + x*v` = (2x^2*v) / (x^2 - v^2*x^2)

Разделим обе части на x:

v` = (2xv) / (x^2 - v^2*x^2) - v

Теперь проведем замену переменных:

u = v^2

Тогда v` = (1/2u) * u`

Подставим замену в уравнение:

(1/2u) * u` = (2xv) / (x^2 - u*x^2) - v

Теперь решим это уравнение для u:

u` = (4xv - 2uv) / (x^2 - u*x^2)

Теперь у нас есть уравнение, разрешенное относительно производной. Мы можем продолжить решение, интегрируя обе части уравнения и находя частное решение.