Question

Помогите пожалуйста решить уравнение log2(x+1)+log2(x-3)=5

Answer 1

Log2(x+1)+log2(x-3)=5
log2(x+1)+log2(x-3)=log2(2^5)
(x+1)(x-3)=32
x²-3x+x-3=32
x²-2x-35=0
x1= -5; x2= 7.

Answer 2

Давайте решим данное уравнение log2(x+1) + log2(x-3) = 5.

Преобразование логарифмов

Первым шагом мы можем использовать свойства логарифмов, чтобы объединить два логарифма в один. В данном случае, мы можем использовать свойство суммы логарифмов:

log2(x+1) + log2(x-3) = log2((x+1)(x-3))

Преобразование логарифма

Затем мы можем применить обратное преобразование логарифма, чтобы избавиться от логарифма и получить эквивалентное уравнение:

log2((x+1)(x-3)) = 5

Преобразование в экспоненциальную форму

Теперь мы можем преобразовать уравнение из логарифмической формы в экспоненциальную форму, используя определение логарифма:

2^5 = (x+1)(x-3)

32 = (x+1)(x-3)

Раскрытие скобок

Далее, раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

32 = x^2 - 2x - 3

Перенос всех членов в одну сторону

Теперь перенесём все члены уравнения в одну сторону:

x^2 - 2x - 3 - 32 = 0

x^2 - 2x - 35 = 0

Решение квадратного уравнения

Теперь, чтобы решить это квадратное уравнение, мы можем использовать квадратное уравнение:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

где a = 1, b = -2 и c = -35.

Решение уравнения

Подставим значения a, b и c в формулу и решим уравнение:

x = (-(-2) ± √((-2)^2 - 4(1)(-35))) / (2(1))

x = (2 ± √(4 + 140)) / 2

x = (2 ± √144) / 2

x = (2 ± 12) / 2

Таким образом, получаем два возможных значения для x:

x1 = (2 + 12) / 2 = 14 / 2 = 7

x2 = (2 - 12) / 2 = -10 / 2 = -5

Проверка решения

Чтобы проверить, являются ли эти значения решением исходного уравнения, мы можем подставить их обратно в исходное уравнение и проверить, выполняется ли равенство:

При x = 7:

log2(7+1) + log2(7-3) = 5

log2(8) + log2(4) = 5

3 + 2 = 5

5 = 5

Утверждение верно.

При x = -5:

log2(-5+1) + log2(-5-3) = 5

log2(-4) + log2(-8) = 5

Отметим, что логарифмы отрицательных чисел не определены в области действительных чисел, поэтому x = -5 не является решением исходного уравнения.

Таким образом, решением уравнения log2(x+1) + log2(x-3) = 5 является x = 7.