Question

Составить уравнение касательной в x0=1 y=x^3+x-2

Answer 1

У =х³ + х - 2  x₀=1
В дальнейшем производную я буду лбозначать символом  ¹
Уравнение касательной:
y = f(x₀) + f¹(x₀)(x-x₀)
f(x₀) = 1³ + 1 -2=0
y¹ = 3x² +1
f¹(x₀) =f¹(1) = 3+1 = 4
y = 0 + 4(x-1) = 4x -4
Ответ: 4х-4

Answer 2

Чтобы составить уравнение касательной к графику функции в точке x0, нужно использовать производную функции в этой точке. Давайте начнем с вычисления производной функции y = x^3 + x - 2.

Вычисление производной функции

Для вычисления производной функции y = x^3 + x - 2, мы применим правила дифференцирования для степенной функции и линейной функции. Вычислим производную по очереди для каждого слагаемого:

1. Производная степенной функции: d/dx (x^n) = n * x^(n-1) В данном случае, производная первого слагаемого x^3 равна: d/dx (x^3) = 3 * x^(3-1) = 3 * x^2

2. Производная линейной функции: d/dx (ax + b) = a В данном случае, производная второго слагаемого x равна: d/dx (x) = 1

3. Производная константы: d/dx (c) = 0 В данном случае, производная третьего слагаемого -2 равна: d/dx (-2) = 0

Вычисление производной функции

Теперь, когда мы вычислили производную функции y = x^3 + x - 2, получим:

dy/dx = 3x^2 + 1

Вычисление значения производной в точке x0

Чтобы найти значение производной в заданной точке x0 = 1, мы подставим x0 в выражение для производной:

dy/dx | x=1 = 3(1)^2 + 1 = 3 + 1 = 4

Составление уравнения касательной

Уравнение касательной к графику функции y = x^3 + x - 2 в точке x0 = 1 будет иметь вид:

y - y0 = m(x - x0),

где (x0, y0) - координаты точки на графике, m - значение производной в этой точке.

Подставим значения x0 = 1, y0 = 1^3 + 1 - 2 = 0 и m = 4 в уравнение:

y - 0 = 4(x - 1),

или приведем его к форме:

y = 4x - 4.

Таким образом, уравнение касательной к графику функции y = x^3 + x - 2 в точке x0 = 1 будет y = 4x - 4.