Question

Найти производную сложной функции y=cos(8x+5)

Answer 1

Y=-sin(8x+5)*(8x+5)'
y=-8sin(8x+5)

Answer 2

Для нахождения производной сложной функции нам понадобится использовать правило дифференцирования композиции функций, известное как правило цепной (chain rule).

Функция, которую нам нужно дифференцировать, выглядит так: y = cos(8x + 5).

Для применения правила цепной, мы должны рассмотреть две функции в этой композиции. В данном случае, внутренняя функция - это 8x + 5, а внешняя функция - это cos(u), где u = 8x + 5.

Нахождение производной внешней функции

Для нахождения производной внешней функции cos(u), мы применяем правило дифференцирования функции cos(x), где x - это наша переменная u.

Производная функции cos(x) равна -sin(x). Применяя это к нашей функции, мы получаем:

dy/du = -sin(u)

Нахождение производной внутренней функции

Для нахождения производной внутренней функции 8x + 5, мы применяем правило дифференцирования функции линейной комбинации, где каждый член линейной комбинации просто дифференцируется по отдельности.

Производная функции 8x равна 8, так как x - это переменная, а 8 - это коэффициент перед переменной. Производная функции 5 равна 0, так как 5 - это константа.

Итак, производная функции 8x + 5 равна 8.

Правило цепной

Теперь мы можем применить правило цепной, которое гласит, что производная сложной функции равна произведению производной внешней функции и производной внутренней функции.

dy/dx = (dy/du) * (du/dx)

dy/dx = -sin(u) * 8

Замена обратно на переменную x

Мы заменили переменную u на выражение 8x + 5, поэтому заменим обратно на x:

dy/dx = -sin(8x + 5) * 8

Итак, производная функции y = cos(8x + 5) равна -8sin(8x + 5).

Надеюсь, эта подробная информация помогла вам! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.