Question

Докажите что при любых целых a и b произведение (a+b)(a-b) делится на три

Answer 1

Что-то у вас не правильно записано. Ибо если взять a=3, а b=1, то a+b=4, a-b=2 и их произведение равно 4*2=8 не делится на 3.

Answer 2

Доказательство того, что произведение (a+b)(a-b) делится на три

Для доказательства того, что произведение (a+b)(a-b) делится на три, мы можем использовать метод доказательства по индукции.

Шаг 1: Базовый случай Проверим, что утверждение верно для базового случая, когда a и b равны 0. В этом случае, (a+b)(a-b) = (0+0)(0-0) = 0. Очевидно, что 0 делится на три, так как 0/3 = 0. Таким образом, базовый случай подтверждает утверждение.

Шаг 2: Предположение индукции Предположим, что утверждение верно для некоторых целых чисел a и b.

Шаг 3: Индукционный шаг Докажем, что утверждение верно для a+1 и b+1. Раскроем произведение (a+1+b+1)(a+1-b-1): (a+1+b+1)(a+1-b-1) = (a+b+2)(a-b) = (a+b)(a-b) + 2(a+b) + 2(a-b) + 4.

Заметим, что первое слагаемое (a+b)(a-b) делится на три в соответствии с предположением индукции. Остается доказать, что остальные слагаемые также делятся на три.

2(a+b) делится на три, так как a и b являются целыми числами, и их сумма a+b также является целым числом.

2(a-b) делится на три, так как a и b являются целыми числами, и их разность a-b также является целым числом.

4 делится на три, так как 4 = 3 + 1.

Таким образом, все слагаемые в выражении (a+1+b+1)(a+1-b-1) делятся на три, что означает, что произведение (a+1+b+1)(a+1-b-1) также делится на три.

Шаг 4: Заключение Из базового случая и индукционного шага следует, что произведение (a+b)(a-b) делится на три для любых целых чисел a и b.

Таким образом, мы доказали, что при любых целых a и b произведение (a+b)(a-b) делится на три.