Question

Найдите значение cos6α, если sinα=0,5 α=[0;π/2]

Answer 1

Α = arcsin(0.5) = π/6
cos6α = cosπ = -1

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться тригонометрическим тождеством \( \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1 \), а также формулой двойного угла для косинуса \( \cos(2\beta) = 1 - 2\sin^2(\beta) \).

Сначала найдем значение \( \cos\alpha \), используя информацию о \( \sin\alpha \). Известно, что \( \sin\alpha = 0.5 \), а значит, мы можем использовать тождество \( \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1 \) для нахождения \( \cos\alpha \). Так как \( \sin\alpha = 0.5 \), мы можем подставить это значение в тождество и решить уравнение относительно \( \cos\alpha \): \[ \cos^2\alpha + 0.5^2 = 1 \] \[ \cos^2\alpha + 0.25 = 1 \] \[ \cos^2\alpha = 0.75 \] \[ \cos\alpha = \pm\sqrt{0.75} \] Так как \( \alpha \) находится в интервале от \( 0 \) до \( \frac{\pi}{2} \), то \( \cos\alpha \) будет положительным. Поэтому \( \cos\alpha = \sqrt{0.75} = 0.866 \).

Теперь мы можем найти значение \( \cos6\alpha \), используя формулу двойного угла для косинуса \( \cos(2\beta) = 1 - 2\sin^2(\beta) \) и заменяя \( \beta \) на \( 3\alpha \): \[ \cos(6\alpha) = 1 - 2\sin^2(3\alpha) \] Так как \( \sin^2(3\alpha) = (1 - \cos^2(3\alpha)) \), мы можем воспользоваться тригонометрическими формулами для нахождения \( \cos(3\alpha) \). Это даст нам значение \( \cos(6\alpha) \).

Используя эти шаги, мы можем найти значение \( \cos6\alpha \) при известном \( \sin\alpha \).