Question

Сумма корней уравнения cos² (x) - 2cos (x) = 3, принадлежащих промежутку (-5π; 8π) СРОЧНООООО

Answer 1

$cos^2x-2cosx - 3 = 0$
делаем замену:
$cosx= a$
$a^2-2a-3=0$
$D = 4+12 = 4^2$
$a_{1} = \frac{2+4}{2} = 3$
$a_{2} = \frac{2-4}{2} = -1$
обратная замена:
$cosx= 3$ - невозможно
$cosx= -1$
$x = +- \pi +2 \pi n$
далее делаем подбор по параметру n:
n = 0, x = $\pi$, -$\pi$
n = 1, x = 3$\pi$, -$\pi$+2$\pi$ = $\pi$
n=2, x =5$\pi$, x = -$\pi$+4$\pi$ = 3$\pi$
n = 3, x = 7$\pi$, x = -$\pi$+6$\pi$ =  5$\pi$ 
n = -1, x = $\pi$-2$\pi$=-$\pi$, x = -3$\pi$
n=-2, x = $\pi$-4$\pi$ = -3$\pi$, -$\pi$-4$\pi$ = -5$\pi$∉(-5π; 8π)
n = -3, x = $\pi$-6x = -5$\pi$ ∉(-5π; 8π)
ответ: +\-$\pi$,+\-3$\pi$, 5$\pi$, 7$\pi$
сумма: $-3 \pi - \pi + \pi +3 \pi +5 \pi +7 \pi = 12 \pi$

Answer 2

Cos²x-2cosx-3=0
cosx=a
a²-2a-3=0
a1+|a2=2 U a1*a2=-3
a1=-1⇒cosx=-1⇒x=π+2πk,k∈z
-5π<π+2πk<8π
-5<1+2k<8
-6<2k<7
-3<k<3,5
k=-2⇒x=π-4π=-3π
k=-1⇒x=π-2π=-π
k=0⇒x=π
k=1⇒x=π+2π=3π
k=2⇒x=π+4π=5π
k=3⇒x=π+6π=7π
a2=3⇒cosx=3>1 нет решения
Сумма корней равна -3π-π+π+3π+5π+7π=12π

Answer 3

Для решения данного уравнения, мы можем использовать подходящую тригонометрическую подстановку. В данном случае, мы можем заменить cos(x) на t и решить уравнение в отношении t.

Замена переменной:

Пусть t = cos(x). Тогда уравнение примет вид: t² - 2t = 3

Решение уравнения:

Приведем уравнение к квадратному виду: t² - 2t - 3 = 0

Решим это квадратное уравнение с помощью факторизации или квадратного корня: (t - 3)(t + 1) = 0

Таким образом, получаем два возможных значения для t: t₁ = 3 и t₂ = -1

Возвращение к переменной x:

Теперь, чтобы найти значения x, мы должны вернуться к исходному уравнению и решить его для каждого значения t.

Для t₁ = 3: cos(x) = 3

Однако, значение cos(x) не может быть больше 1, поэтому это решение не подходит.

Для t₂ = -1: cos(x) = -1

Известно, что cos(x) равен -1 при x = (2n + 1)π, где n - целое число.

Таким образом, получаем значения x: x₁ = (2n + 1)π

Проверка принадлежности промежутку:

Для определения, какие значения x принадлежат промежутку (-5π; 8π), мы можем подставить различные значения n и проверить, находятся ли соответствующие значения x в данном промежутке.

Подставим n = -3: x₁ = (2(-3) + 1)π = -5π

Подставим n = 4: x₂ = (2(4) + 1)π = 9π

Таким образом, получаем значения x, принадлежащие промежутку (-5π; 8π): x₁ = -5π и x₂ = 9π

Ответ:

Сумма корней уравнения cos²(x) - 2cos(x) = 3, принадлежащих промежутку (-5π; 8π), равна -5π + 9π = 4π.