Question

Задача Коши

Answer 1

$y'+xy=-x^3\; ,\; \; y(0)=3\\\\y=uv\\\\u'v+uv'+xuv=-x^3\\\\u'v+u(v'+xv)=-x^3\\\\a)\; \; v'+xv=0\; \; ,\; \; \frac{dv}{dx}=-xv\; ,\; \; \int \frac{dv}{v}=-\int x\, dx\\\\ln|v|=-\frac{x^2}{2} \; \; \to \; \; \; v=e^{-\frac{x^2}{2}}\\\\b)\; \; u'\cdot e^{-\frac{x^2}{2}}=-x^3 \\\\\int du=-\int x^3\cdot e^{\frac{x^2}{2}}\, dx$

$\int x^3\cdot e^{\frac{x^2}{2}}\, dx=[\; u=x^2\; ,\; du=2x\, dx\; ,\; dv=x\cdot e^{\frac{x^2}{2}}\, dx\; ,\\\\v=\int x\cdot e^{\frac{x^2}{2}}\, dx=[\; t= \frac{x^2}{2} \; ,\; dt=\frac{1}{2}\cdot 2x\, dx=x\, dx\; ]=\\\\=\int e^{t}\, dt=e^{t}=e^{\frac{x^2}{2}}\; ]=$

$=x^2\cdot e^{\frac{x^2}{2}}-2\int x\cdot e^{ \frac{x^2}{2} }\, dx=x^2\cdot e^{\frac{x^2}{2}}-2e^{ \frac{x^2}{2} }+C_1\\\\u=-x^2e^ {\frac{x^2}{2}}+2e^ {\frac{x^2}{2} }+C\\\\c)\; \; y=e^{-\frac{x^2}{2}}\cdot (-x^2e^{\frac{x^2}{2}}+2e^{\frac{x^2}{2}}+C)=-x^2+2+Ce^{-\frac{x^2}{2}}\\\\d)\; \; y(0)=3\; ,\; \; 3=2+C\cdot e^0=2+C\; ,\; \; C=1\\\\y=-x^2+2+e^{-\frac{x^2}{2}}$

Answer 2

Задача Коши

Задача Коши - это математическая задача, которая состоит в нахождении решения дифференциального уравнения при заданных начальных условиях. В общем случае, задача Коши формулируется следующим образом: необходимо найти функцию, которая удовлетворяет заданному дифференциальному уравнению и начальным условиям, то есть значениям функции и ее производной в некоторой точке.

Решение задачи Коши

Для решения задачи Коши существуют различные методы, включая аналитические и численные подходы. Аналитические методы позволяют найти точное аналитическое решение дифференциального уравнения, если оно имеет аналитическое решение. Однако, в большинстве случаев аналитическое решение найти сложно или невозможно, и поэтому применяются численные методы.

Один из численных методов для решения задачи Коши - это метод Эйлера. Этот метод основан на аппроксимации производной функции и позволяет приближенно находить значения функции в различных точках. Шаги метода Эйлера включают выбор начальной точки, выбор шага интегрирования и последовательное вычисление значений функции на следующих шагах.

Калькулятор решения задачи Коши

Если вам нужно решить конкретную задачу Коши, вы можете воспользоваться онлайн-калькулятором, который поможет вам шаг за шагом решить дифференциальное уравнение и найти решение задачи Коши. Онлайн-калькуляторы предоставляют возможность вводить уравнение и начальные условия, а затем вычислять значения функции на различных шагах.

Например, калькулятор "Cauchy problem calculator" позволяет решить задачу Коши для заданного дифференциального уравнения с пошаговым решением.

Пример решения задачи Коши

Давайте рассмотрим пример решения задачи Коши с использованием метода Эйлера. Предположим, у нас есть дифференциальное уравнение:

dy/dx = x^2 + y^2

с начальным условием:

y(0) = 1

Мы можем использовать метод Эйлера для приближенного решения этой задачи Коши. Выберем шаг интегрирования, например, h = 0.1, и начальную точку x0 = 0. Затем мы можем последовательно вычислить значения функции на следующих шагах, используя формулу:

y(i+1) = y(i) + h * (x(i)^2 + y(i)^2)

где y(i) и x(i) - значения функции и аргумента на предыдущем шаге, а y(i+1) и x(i+1) - значения функции и аргумента на следующем шаге.

Продолжая вычисления до нужного значения аргумента, мы можем получить приближенное решение задачи Коши.

Заключение

Задача Коши - это важная математическая задача, которая возникает при решении дифференциальных уравнений с начальными условиями. Для ее решения можно использовать различные методы, включая аналитические и численные подходы. Онлайн-калькуляторы также предоставляют возможность решить задачу Коши для конкретного дифференциального уравнения.