Question

Найдите стационарную точку функции f(x)=x^3-2x^2+x+3

Answer 1

Итак, места, где производная равна 0 - это точки перегибов (функция с увеличения идёт на спад или наоборот) .

Вот их и найдём f(x)'=3x^2-2x-1=0;
3x^2-2x-1=0;
d=4+12=16
x1=(2-4)/6=-2/6=-1/3
x2=(2+4)/6=1

а теперь посчитаем значения функции для этих двух точек, а также для двух граничных точек (ведь если функция уходит в бесконечность как при x^2 например, то крайние точки могут быть выше или ниже перегибов) .

-1: (-1)^3-(-1)^2+1+2=-1-1+1+2=1
-1/3: (-1/3)^3-(-1/3)^2+1/3+2=-1/27-1/9+1/3+2=-1/27-3/27+9/27+2=2+5/27
1: (1)^3-(1)^2-1+2=1-1-1+2=1
3/2: (3/2)^3-(3/2)^2-3/2+2=27/8-9/4-3/2+2=27/8-18/8-12/8+2=-3/8+2=1+5/8

Как видим найбольшее значение мы получили в точке -1/3 (2 целым 5/27), а найменьшее в точках -1 и 1 (единица)

Потому ответ: минимум функции 1, а максимум 2 целых 5/27

Answer 2

Для того чтобы найти стационарную точку функции f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3, мы должны найти ее производную и приравнять ее к нулю.

Сначала найдем производную функции f(x): f'(x) = 3x^2 - 4x + 1

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение: 3x^2 - 4x + 1 = 0

Для решения этого квадратного уравнения можно воспользоваться формулой дискриминанта: D = b^2 - 4ac D = (-4)^2 - 4*3*1 D = 16 - 12 D = 4

Теперь найдем корни уравнения: x1,2 = (-b ± √D) / 2a x1 = (4 + √4) / 6 x1 = (4 + 2) / 6 x1 = 6 / 6 x1 = 1

x2 = (4 - √4) / 6 x2 = (4 - 2) / 6 x2 = 2 / 6 x2 = 1/3

Таким образом, у нас получились две стационарные точки функции f(x): x1 = 1 и x2 = 1/3.

Чтобы определить, являются ли эти точки минимумами, максимумами или точками перегиба, можно воспользоваться второй производной функции f(x): f''(x) = 6x - 4

Подставим найденные стационарные точки во вторую производную: f''(1) = 6*1 - 4 = 2 f''(1/3) = 6*(1/3) - 4 = -2

Таким образом, точка x1 = 1 является точкой минимума, а точка x2 = 1/3 - точкой максимума.

Итак, стационарные точки функции f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3: x1 = 1 (минимум) и x2 = 1/3 (максимум).