Question

Решите неравенство 10cos^2 x + 3cos x-1 >= 0

Answer 1

Заменяем cos x = y и получаем обычное квадратное неравенство
По области значений косинуса y = cos x ∈ [-1; 1]
10y^2 + 3y - 1 >= 0
(2y + 1)(5y - 1) >= 0
По методу интервалов
y = cos x ∈ [-1; -1/2] U [1/5; 1]
Решаем соответствующие тригонометрические уравнения
x ∈ [2pi/3 + 2pi*k; 4pi/3 + 2pi*k] U [-arccos(1/5) + 2pi*k; arccos(1/5) + 2pi*k]
Соответствующие области показаны на тригонометрическом круге

Answer 2

Для решения данного неравенства мы можем использовать замену. Обозначим cos(x) как t. Тогда неравенство примет вид:

10t^2 + 3t - 1 >= 0

Теперь решим это квадратное неравенство. Сначала найдем корни уравнения 10t^2 + 3t - 1 = 0, используя дискриминант D = b^2 - 4ac:

D = 3^2 - 4*10*(-1) = 9 + 40 = 49

t = (-3 ± √49) / (2*10) = (-3 ± 7) / 20 t1 = 4/20 = 1/5 t2 = -10/20 = -1/2

Теперь мы видим, что уравнение 10t^2 + 3t - 1 = 0 имеет два корня: t1 = 1/5 и t2 = -1/2.

Теперь мы можем построить знаки неравенства на числовой прямой, используя найденные корни. Мы видим, что неравенство 10t^2 + 3t - 1 >= 0 выполняется при t <= -1/2 и t >= 1/5.

Теперь мы можем вернуться к исходной переменной cos(x) и записать ответ:

cos(x) <= -1/2 или cos(x) >= 1/5

Таким образом, решение данного неравенства в виде неравенств для cos(x) выглядит так: cos(x) <= -1/2 или cos(x) >= 1/5.