Question

Найдите наименьшее значение функции у=12х^3-18х+36 на отрезке {-2;2}

Answer 1

Y ( -2) = 12*(-2)^3 - 18*(-2) + 36 = ( - 96 ) + 36 + 36 = ( -96) + 72 = ( - 24 )
Y ( 2 ) = 12*8 - 18*2 + 36 = 96 - 36 + 36 = 96
Наименьшее значение равно ( - 24)

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции у = 12х^3 - 18х + 36 на отрезке [-2, 2], мы можем применить методы дифференциального исчисления. Первым шагом будет найти производную функции по переменной х и приравнять ее к нулю, чтобы найти критические точки функции. Затем мы проверим значения функции на концах отрезка [-2, 2] и в найденных критических точках, чтобы определить наименьшее значение.

Нахождение производной функции:

Для данной функции у = 12х^3 - 18х + 36, возьмем производную по переменной х.

Производная функции у = 12х^3 - 18х + 36: у' = 36х^2 - 18

Нахождение критических точек:

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:

36х^2 - 18 = 0

Решая это уравнение, мы получим две критические точки:

36х^2 = 18 х^2 = 18/36 х^2 = 1/2 х = ±√(1/2) х = ±(1/√2) х = ±(√2/2)

Таким образом, у нас есть две критические точки х = √2/2 и х = -√2/2.

Проверка значений функции:

Теперь мы проверим значения функции у = 12х^3 - 18х + 36 на концах отрезка [-2, 2] и в найденных критических точках.

При х = -2: у = 12(-2)^3 - 18(-2) + 36 = -96 + 36 + 36 = -24

При х = √2/2: у = 12(√2/2)^3 - 18(√2/2) + 36 = 12(2√2/8) - 18(√2/2) + 36 = 3√2 - 9√2 + 36 = 36 - 6√2

При х = -√2/2: у = 12(-√2/2)^3 - 18(-√2/2) + 36 = 12(-2√2/8) - 18(-√2/2) + 36 = -3√2 + 9√2 + 36 = 36 + 6√2

При х = 2: у = 12(2)^3 - 18(2) + 36 = 96 - 36 + 36 = 96

Наименьшее значение функции:

Таким образом, наименьшее значение функции у = 12х^3 - 18х + 36 на отрезке [-2, 2] равно -24.