Question

Решите уравнение: у^3+3у^2-9у-27=0 (^3-степень у)

Answer 1

..................................

Answer 2

Чтобы решить данное уравнение, у^3 + 3у^2 - 9у - 27 = 0, нам нужно найти значения переменной у, которые удовлетворяют уравнению.

Подход к решению

Один из способов решения данного уравнения - это использование метода подстановки или синтетического деления.

Метод подстановки

Для начала, мы можем попробовать подстановку различных значений для у, начиная с некоторых целых чисел, чтобы найти корни уравнения. Один из способов быстро проверить целые значения - это использовать метод проверки корней по теореме о рациональных корнях.

Теорема о рациональных корнях гласит, что если у уравнения с целыми коэффициентами есть рациональный корень p/q (где p - делитель свободного члена, а q - делитель старшего коэффициента), то p должно быть делителем свободного члена, а q - делителем старшего коэффициента.

Применение теоремы о рациональных корнях

В данном случае, свободный член равен -27, а старший коэффициент равен 1. Поэтому возможные рациональные корни уравнения будут делителями числа 27. Положительные делители 27: 1, 3, 9, 27, а отрицательные делители: -1, -3, -9, -27.

Проверка рациональных корней

Подставим значения делителей в уравнение и проверим, дает ли это нам корень уравнения.

1. Подстановка у = 1: (1)^3 + 3(1)^2 - 9(1) - 27 = 1 + 3 - 9 - 27 = -32. (1 не является корнем уравнения)

2. Подстановка у = -1: (-1)^3 + 3(-1)^2 - 9(-1) - 27 = -1 + 3 + 9 - 27 = -16. (-1 не является корнем уравнения)

3. Подстановка у = 3: (3)^3 + 3(3)^2 - 9(3) - 27 = 27 + 27 - 27 - 27 = 0. (3 является корнем уравнения)

4. Подстановка у = -3: (-3)^3 + 3(-3)^2 - 9(-3) - 27 = -27 + 27 + 27 - 27 = 0. (-3 является корнем уравнения)

Факторизация и решение

На основе результатов проверки рациональных корней, мы установили, что уравнение имеет два корня: 3 и -3. Теперь мы можем использовать эти корни, чтобы разложить уравнение на линейные множители и решить его.

Уравнение у^3 + 3у^2 - 9у - 27 = 0 можно факторизовать следующим образом:

(у - 3)(у + 3)(у + 3) = 0

Таким образом, факторизованное уравнение будет:

(у - 3)(у + 3)^2 = 0

Найденные корни

Из факторизованного уравнения видно, что уравнение имеет три корня: 3, -3 и -3.

Таким образом, решение уравнения у^3 + 3у^2 - 9у - 27 = 0 равно: у = 3, у = -3 и у = -3.