Question

Для заданных функций найти а) первую производную y' и вторую производную y" ; б) первую производную y' ; г) дифференциал dy. a)y=3x^4-5/3x^3-1 ; б)y=(x^2-1)ln2x ; в)y=cos x^2/sin 3x ; г)y=e^sin5x

Answer 1

В примере в) во второй производной надо вычислять производную произведения трех функций -  очень кропотливая работа 

Answer 2

Задача а)

Для функции a) y = 3x^4 - 5/3x^3 - 1, найдем первую и вторую производные.

Первая производная (y'): Чтобы найти первую производную, возьмем производную каждого слагаемого по отдельности и сложим их. y' = d/dx(3x^4) - d/dx(5/3x^3) - d/dx(1)

Производная слагаемого 3x^4 равна 12x^3. Производная слагаемого 5/3x^3 равна 5x^2. Производная константы 1 равна 0.

Поэтому первая производная y' равна: y' = 12x^3 - 5x^2

Вторая производная (y"): Чтобы найти вторую производную, возьмем производную первой производной. y" = d/dx(12x^3 - 5x^2)

Производная слагаемого 12x^3 равна 36x^2. Производная слагаемого -5x^2 равна -10x.

Поэтому вторая производная y" равна: y" = 36x^2 - 10x

Задача б)

Для функции б) y = (x^2 - 1)ln(2x), найдем первую производную.

Первая производная (y'): Чтобы найти первую производную, применим правило производной произведения функций. y' = d/dx((x^2 - 1)ln(2x))

Применим правило производной произведения функций: y' = (x^2 - 1) * d/dx(ln(2x)) + ln(2x) * d/dx(x^2 - 1)

Производная ln(2x) равна 1/x. Производная x^2 - 1 равна 2x.

Поэтому первая производная y' равна: y' = (x^2 - 1) * (1/x) + ln(2x) * 2x

Задача в)

Для функции в) y = cos(x^2) / sin(3x), найдем первую производную.

Первая производная (y'): Чтобы найти первую производную, применим правило производной частного функций. y' = d/dx(cos(x^2)) * sin(3x) - cos(x^2) * d/dx(sin(3x)) / (sin(3x))^2

Производная cos(x^2) равна -2x * sin(x^2). Производная sin(3x) равна 3 * cos(3x).

Поэтому первая производная y' равна: y' = -2x * sin(x^2) * sin(3x) - cos(x^2) * 3 * cos(3x) / (sin(3x))^2

Задача г)

Для функции г) y = e^(sin(5x)), найдем первую и вторую производные.

Первая производная (y'): Чтобы найти первую производную, применим правило производной сложной функции. y' = d/dx(e^(sin(5x))) * cos(5x)

Производная e^(sin(5x)) равна e^(sin(5x)) * cos(5x).

Поэтому первая производная y' равна: y' = e^(sin(5x)) * cos(5x)

Вторая производная (y"): Чтобы найти вторую производную, возьмем производную первой производной. y" = d/dx(e^(sin(5x)) * cos(5x))

Применим правило производной произведения функций: y" = d/dx(e^(sin(5x))) * cos(5x) - e^(sin(5x)) * d/dx(cos(5x))

Производная e^(sin(5x)) равна e^(sin(5x)) * cos(5x). Производная cos(5x) равна -5 * sin(5x).

Поэтому вторая производная y" равна: y" = e^(sin(5x)) * cos(5x) - e^(sin(5x)) * -5 * sin(5x)

Итого: а) Первая производная y' = 12x^3 - 5x^2 Вторая производная y" = 36x^2 - 10x

б) Первая производная y' = (x^2 - 1) * (1/x) + ln(2x) * 2x

в) Первая производная y' = -2x * sin(x^2) * sin(3x) - cos(x^2) * 3 * cos(3x) / (sin(3x))^2

г) Первая производная y' = e^(sin(5x)) * cos(5x) Вторая производная y" = e^(sin(5x)) * cos(5x) + e^(sin(5x)) * 5 * sin(5x)