Question

Вычислите производную функции, используя определение а) f(x)=x^2+3 б) f(x)=2x^3

Answer 1

А)f(x)'=2x+0 B)f(x)'=6x^2

Answer 2

Вычисление производной функции по определению

Для вычисления производной функции по определению, мы используем следующую формулу:

f'(x) = lim(h->0) [f(x + h) - f(x)] / h

где f'(x) обозначает производную функции f(x), h - маленькое приращение аргумента x.

Давайте применим это определение для двух функций: f(x) = x^2 + 3 и f(x) = 2x^3.

Вычисление производной функции f(x) = x^2 + 3

Для функции f(x) = x^2 + 3, найдем производную, используя определение.

f'(x) = lim(h->0) [f(x + h) - f(x)] / h

Подставим функцию f(x) = x^2 + 3 в формулу:

f'(x) = lim(h->0) [(x + h)^2 + 3 - (x^2 + 3)] / h

Раскроем скобки:

f'(x) = lim(h->0) [x^2 + 2hx + h^2 + 3 - x^2 - 3] / h

Упростим выражение:

f'(x) = lim(h->0) [2hx + h^2] / h

Разделим каждое слагаемое на h:

f'(x) = lim(h->0) [2x + h]

Теперь, когда h стремится к нулю, мы можем положить h равным нулю:

f'(x) = 2x

Таким образом, производная функции f(x) = x^2 + 3 равна 2x.

Вычисление производной функции f(x) = 2x^3

Для функции f(x) = 2x^3, найдем производную, используя определение.

f'(x) = lim(h->0) [f(x + h) - f(x)] / h

Подставим функцию f(x) = 2x^3 в формулу:

f'(x) = lim(h->0) [2(x + h)^3 - 2x^3] / h

Раскроем скобки и упростим выражение:

f'(x) = lim(h->0) [2(x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3) - 2x^3] / h

f'(x) = lim(h->0) [6x^2h + 6xh^2 + 2h^3] / h

f'(x) = lim(h->0) 6x^2 + 6xh + 2h^2

Теперь, когда h стремится к нулю, мы можем положить h равным нулю:

f'(x) = 6x^2

Таким образом, производная функции f(x) = 2x^3 равна 6x^2.