Question

Найдите наибольшее натуральное n, что существует выпуклый n-угольник, у которого все углы измеряются целым числом градусов.

Answer 1

Величина внутреннего угла правильного многоугольника
Alpha  = 180*(n - 2)/n = 180 - 2*180/n = 180 - 360/n
Ясно, что при n = 360 каждый из углов будет равен 179 градусов.

Answer 2

Чтобы найти наибольшее натуральное число n, при котором существует выпуклый n-угольник, у которого все углы измеряются целым числом градусов, мы можем использовать следующие наблюдения:

1. Сумма всех углов в выпуклом n-угольнике равна (n-2) * 180 градусов. Это следует из того, что можно разбить выпуклый n-угольник на (n-2) треугольника, и сумма углов в каждом треугольнике равна 180 градусов.

2. Если все углы в выпуклом n-угольнике измеряются целым числом градусов, то (n-2) * 180 должно быть делителем 360 (полного оборота). Иначе говоря, (n-2) * 180 должно быть целым делителем 360.

Теперь мы можем приступить к поиску наибольшего натурального числа n, для которого (n-2) * 180 является делителем 360.

Поиск наибольшего натурального числа n

Поделим 360 на (n-2) * 180 и посмотрим, какие значения у нас получаются:

- При n = 3: (3-2) * 180 = 180. 360/180 = 2. Число 2 не является делителем 360. - При n = 4: (4-2) * 180 = 360. 360/360 = 1. Число 1 является делителем 360. - При n = 5: (5-2) * 180 = 540. 360/540 = 0.6666... Число 0.6666... не является делителем 360. - При n = 6: (6-2) * 180 = 720. 360/720 = 0.5. Число 0.5 не является делителем 360. - При n = 7: (7-2) * 180 = 900. 360/900 = 0.4. Число 0.4 не является делителем 360. - При n = 8: (8-2) * 180 = 1080. 360/1080 = 0.3333... Число 0.3333... не является делителем 360. - При n = 9: (9-2) * 180 = 1260. 360/1260 = 0.2857... Число 0.2857... не является делителем 360.

Таким образом, наибольшее натуральное число n, для которого существует выпуклый n-угольник, у которого все углы измеряются целым числом градусов, равно 4.

Ответ: Наибольшее натуральное число n равно 4.