Question

Упростить выражение: (3 sin альфа + 2cos альфа)^2 + (3 cos альфа - 2 sin альфа)^2

Answer 1

(3sinα+2cosα)²+(3cosα-2sinα)²=
=9sin²α+12sinαcosα+4cos²α+9cos²α-12cosαsinα+4sin²a=
=9(sin²α+cos²α)+4(cos²α+sin²α)=9+4=13;

Answer 2

Для упрощения данного выражения мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами. Давайте начнем с раскрытия скобок и последующего сокращения подобных слагаемых.

Раскрытие скобок:

(3 + sin α + 2cos α)^2 + (3cos α - 2sin α)^2

Раскрытие квадрата суммы:

(3 + sin α)^2 + 2*2*(3 + sin α)*(2cos α) + (2cos α)^2 + (3cos α)^2 - 2*2*(3cos α)*(2sin α) + (2sin α)^2

Упрощение:

(9 + 6sin α + (sin α)^2) + 12(3sin α + 2sin α cos α) + (2cos α)^2 + (3cos α)^2 - 12(3cos α sin α) + (2sin α)^2

Теперь нам нужно воспользоваться тригонометрическими тождествами, чтобы упростить это выражение.

Тригонометрические тождества:

(sin α)^2 + (cos α)^2 = 1 sin^2(α) = 1 - cos^2(α) cos^2(α) = 1 - sin^2(α)

Подставим тригонометрические тождества в наше выражение:

(9 + 6sin α + 1 - (cos α)^2) + 12(3sin α + 2sin α cos α) + (1 - (sin α)^2) + (1 - (cos α)^2) - 12(3cos α sin α) + (1 - (sin α)^2)

Теперь мы можем продолжить упрощение, используя тригонометрические тождества и раскрыв скобки.

Упрощенное выражение:

21 + 6sin α + 12 - 24sin α cos α + 1 - cos^2(α) + 1 - sin^2(α) - 12cos α sin α + 1 - sin^2(α)

Финальное упрощение:

36 - 18sin α cos α

Таким образом, упрощенное выражение равно 36 - 18sin α cos α.