Question

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями x-2y+4=0, x+2y-8=0, y=0, x=-1, x=6

Answer 1

Применены : графики прямых линий, формулы интегрирования, формула Ньютона-Лейбница

Answer 2

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями и осями координат, мы можем использовать метод интегрирования.

Для начала, давайте визуализируем данную фигуру на графике. Уравнения линий, которые ограничивают фигуру, выглядят следующим образом:

1) x - 2y + 4 = 0 2) x + 2y - 8 = 0 3) y = 0 4) x = -1 5) x = 6

Давайте построим график этих уравнений, чтобы увидеть, как они пересекаются и ограничивают фигуру.

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# Уравнения линий
x = np.linspace(-10, 10, 400)
y1 = (x + 4) / 2
y2 = (8 - x) / 2
y3 = np.zeros_like(x)

# Рисуем график
plt.plot(x, y1, label='x - 2y + 4 = 0')
plt.plot(x, y2, label='x + 2y - 8 = 0')
plt.plot(x, y3, label='y = 0')
plt.axvline(x=-1, color='r', linestyle='--', label='x = -1')
plt.axvline(x=6, color='g', linestyle='--', label='x = 6')

# Назначаем метки осей и заголовок
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('График фигуры')

# Отображаем легенду
plt.legend()

# Отображаем график
plt.grid(True)
plt.show()

После выполнения кода, мы получим график, который покажет нам форму фигуры, ограниченной данными линиями и осями координат.


Теперь, чтобы найти площадь этой фигуры, мы можем разделить ее на более простые фигуры, для которых мы знаем формулы для вычисления площади.

Давайте разделим фигуру на две треугольные области и прямоугольную область.

Фигура разделена горизонтальными линиями x = -1 и x = 6 на три области:

1) Треугольник ABC: - Вершины: A(-1, 0), B(4, 0), C(4, 2) - Площадь треугольника вычисляется по формуле S = (1/2) * основание * высота

2) Прямоугольник ADEF: - Вершины: A(-1, 0), D(4, 0), E(4, 2), F(-1, 2) - Площадь прямоугольника вычисляется по формуле S = длина * ширина

3) Треугольник CDE: - Вершины: C(4, 2), D(4, 0), E(4, 2) - Площадь треугольника вычисляется по формуле S = (1/2) * основание * высота

Теперь, давайте вычислим площадь каждой из этих областей и сложим их, чтобы получить общую площадь фигуры.

Вычисление площади треугольника ABC

Для треугольника ABC, мы должны вычислить основание и высоту.

Основание треугольника ABC равно разности x-координат вершин B и A: основание = 4 - (-1) = 5.

Высота треугольника ABC равна разности y-координат вершин B и C: высота = 0 - 2 = -2.

Площадь треугольника ABC = (1/2) * основание * высота = (1/2) * 5 * (-2) = -5.

Вычисление площади прямоугольника ADEF

Для прямоугольника ADEF, мы должны вычислить его длину и ширину.

Длина прямоугольника ADEF равна разности x-координат вершин D и A: длина = 4 - (-1) = 5.

Ширина прямоугольника ADEF равна разности y-координат вершин F и A: ширина = 2 - 0 = 2.

Площадь прямоугольника ADEF = длина * ширина = 5 * 2 = 10.

Вычисление площади треугольника CDE

Для треугольника CDE, мы должны вычислить его основание и высоту.

Основание треугольника CDE равно разности y-координат вершин D и C: основание = 0 - 2 = -2.

Высота треугольника CDE равна разности x-координат вершин E и C: высота = 4 - 4 = 0.

Площадь треугольника CDE = (1/2) * основание * высота = (1/2) * (-2) * 0 = 0.

Общая площадь фигуры

Теперь, чтобы получить общую площадь фигуры, мы должны сложить площади трех областей:

Общая площадь = площадь треугольника ABC + площадь прямоугольника ADEF + площадь треугольника CDE Общая площадь = -5 + 10 + 0 = 5.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной заданными линиями и осями координат, равна 5 квадратным единицам.