Question

При условии ежегодного начисления дохода сумма пенсионного вклада Вадима Васильевича в банке за второй год хранения увеличилась на 2500 рублей, а за четвертый год – на 3600 рублей. На сколько рублей увеличится вклад пенсионера за пятый год?

Answer 1

Пусть а - сумма вклада на конец первого года, х - количество процентов, выраженные десятичной дробью, на которое увеличивается вклад в конце каждого года.

Тогда а+ах - сумма вклада на конец второго года.

ах - это та величина, на которую увеличился вклад на конец второго года хранения. По условию она равна 2500 рублей.

ах=2500

а+ах +х(а+ах)=а(1+х)+ах(1+х)=(а+ах)(1+х)=а(1+х)(1+х)=а(1+х)² - сумма вклада на конец третьего года хранения.

а(1+х)²+ха(1+х)² - сумма вклада на конец четвертого года хранения

ха(1+х)² - это величина, на которую увеличился вклад на конец четвертого года хранения. По условию она равна 3600 рублей.

ха(1+х)²=3600

Составим систему.

$\left \{ {{ax=2500} \atop {xa(1+x)^2=3600}} \right.$

Из первого уравнения выразим а и подставим его во второе уравнение.

$ax=2500\\a=\frac{2500}{x}\\ \\ x*\frac{2500}{x}(1+x)^2=3600\\ \\2500(1+x)^2=3600|:100\\ \\25(1+2x+x^2)=36\\ \\25+50x+25x^2-36=0\\ \\25x^2+50x-11=0\\ \\D=50^2-4*25*(-11)=2500+1100=3600\\ \\x_1=\frac{-50+60}{2*25}=\frac{10}{50}=0,2\\ \\x_2=\frac{-50-60}{2*25}<0$

Второй корень посторонний, т.к. меньше нуля.

х=0,2.

Значит ежегодно вклад увеличивается на 20%.

Найдем а:

$a=\frac{2500}{x}=\frac{2500}{0,2}=\frac{2500*10}{2}=12500$

Сумма вклада на конец четвертого года:

а(1+х)²+ха(1+х)²=(а+ах)(1+х)²=а(1+х)(1+х)²=а(1+х)³

На конец пятого года сумма вклада будет составлять:

а(1+х)³+ха(1+х)³, т.е. на конец пятого года вклад увеличится наха(1+х)³.

Подставим найденные х и а и вычислим эту величину.

$0,2*12500(1+0,2)^3=\frac{2}{20}*12500*1,2^3=2*1250*(\frac{6}{5})^3=\frac{2*1250*6^3}{5^3}=\frac{2*1250*216}{125}=2*10*216=4320$

Ответ: за пятый год вклад увеличится на 4320 рублей.