Question

Найти вектор а образующий с тремя базисными векторами i j k равные острые углы при условии что модуль a = 2 корень 3

Answer 1

Проекция вектора на соответствующую ось равна скалярному произведению
вектора на единичный вектор
$a_x=(a,i)=|a| \cdot |i| \cdot cos \alpha=|a|cos \alpha \newline a_y=(a,j)=|a| \cdot |j| \cdot cos \beta=|a|cos \beta \newline a_z=(a,k)=|a| \cdot |k| \cdot cos \gamma=|a|cos \gamma \newline$  (1)

Модули единичных векторов i,j,k равны естественно 1.
α, β, γ - углы между вектором и осями (единичными векторами) 
Кроме того должно выполняться равенство (своего рода теорема Пифагора для 3х мерного пространства)
$|a|^2=a_x^2+a_y^2+a_z^2$  (2)

Подставим в (2) выражения (1) и учтем, что углы равны:
$|a|^2=|a|^2cos^2\alpha+|a|^2cos^2\beta+|a|^2cos^2\gamma=|a|^2\cdot 3cos^2\alpha \newline \newline 3cos^2\alpha=1 \newline \newline cos\alpha= \sqrt{ \frac{1}{3}}$
Ну и теперь можно найти компоненты вектора
$a_x=a_y=a_z=2 \sqrt{3} \cdot \frac{1}{ \sqrt{3}} =2$