Question

Найти общее решение...............

Answer 1

Разделим обе части уравнения на 2х, получим что
             $\dfrac{\partial}{\partial x}\bigg( \dfrac{\partial u}{\partial y}\bigg)+ \dfrac{1}{2x}\cdot \dfrac{\partial u}{\partial y} =0$

Введём замену. Пусть $\dfrac{\partial u}{\partial y}=z$, тогда получаем:

                $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} =- \frac{z}{2x} \,\, \Rightarrow\,\,\,\, \int\limits \frac{d z}{z} =- \int\limits \frac{dx}{2x} \,\, \Rightarrow\,\,\,\, z= \frac{C_1(y)}{ \sqrt{x} }$

Возвращаемся к обратной замене
 
              $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}= \frac{C_1(y)}{ \sqrt{x} } \,\, \Rightarrow\,\,\, u= \frac{1}{ \sqrt{x} } \int\limits C_1(y)dy+C_2(x)$


Ответ: $\displaystyle u= \frac{1}{ \sqrt{x} } \int\limits C_1(y)dy+C_2(x).$