Question

Докажите,что в равнобедренном треугольнике биссектриса,проведенная к основанию,делит его на два треугольника с равными периметрами

Answer 1

Труегольник авс. провели биссектрису ан. строны ав и ас равны т.к. треугольник равнобедренный, и углы авс и асв равны из-за того же. углы ван и сан равны т.к. биссектриса поделила угол а пополам. отсюда следует что треугольник ван равен треугольнику сан по стороне и двум прилежащим угла. а если треугольники равны, то и периметры их равнв

Answer 2

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой. Следовательно, основание АС делится на два равных отрезка АН и НС, и угол ВНС является прямым. 
Мы получаем два прямоугольных треугольника, у которых все три стороны равны:
АВ = ВС, т.к. треугольник равнобедренный по условию;
АН = НС, т.к. ВН - медиана;
ВН - общая сторона
По третьему признаку равенства треугольников (если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны) наши треугольники АВН и ВНС равны.

Годится и второй признак равенства треугольников: если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. В нашем случае:
АВ = ВС по условию;
угол А равен углу С, т.к. углы при основании равнобедренного треугольника равны;
угол АВН равен углу СВН, т.к. ВН - биссектриса

Первый признак равенства треугольников тоже подходит: если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. В нашем случае:
АВ = ВС по условию
АН = НС, т.к. ВН - медиана
угол А равен углу С, т.к. в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.