Question

найти площадь фигуры,ограниченной линиями y=x^2+2 y=x+2

Answer 1

Ну, если я ещё правильно помню свою "верхнюю математику", то как-то так:
Находим абсциссы точек пересечения графиков функций (это будут верхний и нижний пределы интеграла):

$x^2+2=x+2\\\\ x^2-x=0\\\\x_1=1\\\\x_2=0$

 

$\int\limits^1_0 ({x+2-x^2-2}) \, dx=\int\limits^1_0 ({x-x^2}) \, dx=\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\ |_0^1=\\\\=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-0+0=\frac{1}{6}$

квадратных единиц.

Ну и, как "Лучшее решение" не забудь отметить, ОК?!... ;))) 

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками уравнений \(y = x^2 + 2\) и \(y = x + 2\), нужно определить точки их пересечения, а затем посчитать интеграл разности этих функций вдоль оси x между этими точками.

1. Начнем с определения точек пересечения. Поставим уравнения равными друг другу и решим уравнение:

\[ x^2 + 2 = x + 2 \]

Вычитаем \(x\) и вычитаем 2 с обеих сторон:

\[ x^2 - x = 0 \]

Факторизуем:

\[ x(x - 1) = 0 \]

Таким образом, \(x = 0\) или \(x = 1\).

2. Теперь, определенные точки пересечения \(x = 0\) и \(x = 1\), мы можем записать уравнения для каждой из функций:

Для \(y = x^2 + 2\), при \(x = 0\): \(y = 2\) Для \(y = x + 2\), при \(x = 0\): \(y = 2\) Для \(y = x^2 + 2\), при \(x = 1\): \(y = 3\) Для \(y = x + 2\), при \(x = 1\): \(y = 3\)

Таким образом, точки пересечения: (0, 2) и (1, 3).

3. Теперь, чтобы найти площадь между этими двумя кривыми, мы интегрируем разность функций по x от 0 до 1:

\[ \text{Площадь} = \int_{0}^{1} (x^2 + 2 - (x + 2)) \,dx \]

Вычислим этот интеграл:

\[ \int_{0}^{1} (x^2 + 2 - x - 2) \,dx = \int_{0}^{1} (x^2 - x) \,dx \]

\[ = \left[ \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 \right]_{0}^{1} \]

Подставим верхний предел и вычитаем нижний:

\[ \left( \frac{1}{3}(1)^3 - \frac{1}{2}(1)^2 \right) - \left( \frac{1}{3}(0)^3 - \frac{1}{2}(0)^2 \right) \]

\[ = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{-1}{6} \]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми \(y = x^2 + 2\) и \(y = x + 2\) на интервале [0, 1], равна \(\frac{-1}{6}\). Заметим, что эта площадь отрицательна, что означает, что кривая \(y = x + 2\) находится выше кривой \(y = x^2 + 2\) на этом интервале.