Question

Доказать следующие утверждения. При любом натуральном n число n (n^2+5) делится на 6

Answer 1

Вот так я доказывал "В лоб". В коментариях SRZONTMP предложил более изящный метод.

Answer 2

Давайте докажем данное утверждение методом математической индукции.

Шаг 1: Базовый случай

При \(n = 1\): \(1^2 + 5 = 6\). 6 делится на 6 без остатка.

Шаг 2: Предположение индукции

Предположим, что для некоторого натурального числа \(k\) выполняется утверждение: \(k(k^2 + 5)\) делится на 6.

Шаг 3: Индукционный переход

Докажем, что если утверждение верно для \(k\), то оно верно и для \(k+1\).

Рассмотрим выражение \((k+1)((k+1)^2 + 5)\): \((k+1)((k+1)^2 + 5) = (k+1)(k^2 + 2k + 1 + 5) = (k+1)(k^2 + 2k + 6)\) \((k+1)(k^2 + 2k + 6) = k(k^2 + 5) + 6(k+1)\)

По предположению индукции, \(k(k^2 + 5)\) делится на 6. Также, очевидно, что \(6(k+1)\) делится на 6. Следовательно, их сумма также делится на 6.

Таким образом, если утверждение верно для \(k\), то оно верно и для \(k+1\).

Так как базовый случай выполняется (при \(n = 1\)), и утверждение верно для любого \(k\), следовательно, утверждение верно для всех натуральных чисел \(n\).

Итак, мы доказали, что при любом натуральном числе \(n\) выражение \(n(n^2 + 5)\) делится на 6.

Answer 3

Доказательство: При любом натуральном числе n, число (n^2 + 5) делится на 6.

Для доказательства данного утверждения, мы можем воспользоваться методом математической индукции.

Шаг 1: Базовый случай Проверим, выполняется ли данное утверждение для n = 1. Подставим n = 1 в форму