Question

Хорды AB и CD пересекаются в точке K. Найдите DK : BK , если AK : CK=3:2. Обоснуйте ответДАЮ 10 БАЛЛОВ.ПОМОГИТЕ))))))

Answer 1

Вот подробное доказательство

Answer 2

Пусть точка K делит отрезок AB в отношении 3:2, то есть AK/KB = 3/2.

Также, из условия известно, что хорды AB и CD пересекаются в точке K. По свойству хорд, продолженные сегменты хорд AB и CD должны быть пропорциональны. Поэтому AK/KB = CK/DK.

Так как AK/KB = 3/2 и AK/KB = CK/DK, то мы можем записать:

3/2 = CK/DK

Поскольку нам нужно найти DK: BK, нам нужно выразить BK через DK. Для этого мы можем использовать тот факт, что DK + BK = AK.

Мы знаем, что AK/KB = 3/2, поэтому AK = 3/2 * KB.

Тогда DK + BK = AK, или DK + BK = 3/2 * KB.

Мы хотим выразить DK через BK, поэтому мы можем переписать это выражение:

DK = 3/2 * KB - BK

Теперь, чтобы найти DK: BK, нам нужно знать значение KB.

Так как AK/KB = 3/2, мы можем записать:

AK = 3/2 * KB

Теперь мы знаем, что AK = 3/2 * KB и AK + CK = 3/2 * KB + CK.

Но AK + CK = AC, и, так как хорды AB и CD пересекаются в точке K, то AC - это диаметр окружности.

Получаем, что AC = 2 * AK = 2 * (3/2 * KB) = 3 * KB.

Давайте резюмируем все данные:

AK/KB = 3/2 CK/DK = 3/2 AC = 3 * KB

Теперь мы можем решить систему уравнений.

Подставим второе уравнение в первое:

(CK/DK) = 3/2 CK = (3/2) * DK

Теперь подставим третье уравнение во второе:

(3 * KB)/DK = 3/2 KB/DK = 1/2

Теперь мы можем записать значение DK через BK:

DK = 3/2 * KB - BK

Подставим это выражение в уравнение KB/DK = 1/2:

KB/(3/2 * KB - BK) = 1/2

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на знаменатель:

KB * 2 = (3/2 * KB - BK)

Раскроем скобки:

2KB = 3KB - 2BK

Соберем все члены с переменными влево, а все константы вправо:

2BK = 3KB - 2KB

Выразим BK:

2BK = KB

Теперь можем найти DK:

DK = 3/2 * KB - BK = 3/2 * KB - 2BK = -1/2 * BK

Таким образом, DK: BK = -1/2.